Матрицы. Основные понятия

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами
Количество строк и столбцов является размером матрицы

Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки
Элементы матрицы A обозначаются aij, где i - номер строки, в которой находится элемент, j - номер столбца.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.
Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов
Прямоугольной называется матрица, в которой число строк не равно числу столбцов

Определитель (детерминант) –
числовая характеристика квадратной матрицы.
Обозначение: |A|, det A, Δ
Он «определяет» свойства матрицы A. Матрица A обратима только тогда, когда ее определитель является обратимым элементом кольца R.
В случае, когда R — поле, определитель матрицы A равен нулю только тогда, когда ранг матрицы A меньше n или когда системы строк и столбцов матрицы A являются линейно зависимыми

Свойства определителей

Минором квадратной матрицы называется определитель (n-1)-го порядка матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания из А строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент aij
Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля
Вырожденной называется матрица, если ее определитель равен нулю

Матрица размера 1×n называется строчной или вектор-строкой. Столбцевой или вектор-столбцом называется матрица размера n×1

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Метод присоединённой (союзной) матрицы

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Метод Гаусса-Жордана

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы.
Это утверждается теоремой о разложении определителя по строке/столбцу

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами
aTij = aji

Алгебраические операции с матрицами
Сложение матриц, имеющих один и тот же размер
Умножение матрицы на число
Умножение матриц

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ
При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ ОДНОГО РАЗМЕРА

УМНОЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ
Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ

Элементарные преобразования матрицы
Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное 0
Перестановка строк местами
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число
Отбрасывание одной из двух одинаковых строк
Отбрасывание нулевой строки

Алгоритм решения систем линейных уравнений матричным методом

СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К МАТРИЦЕ
Система линейных уравнений
Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.

Применение матриц в трехмерной графике

В современных телескопах в качестве приемников излучения используют ПЗС-матрицы.
ПЗС-матрица состоит
из большого количества (1000x1000 и более) полупроводниковых чувствительных ячеек

Растровое изображение представляет собой мозаику (таблицу, матрицу, растр – графическую сетку)
из мелких точек - пикселей