Интеграл и его приложения

Повторение :
Сформулируйте определение производной функции в точке.
Сформулируйте правила вычисления производных.
Какая функция называется сложной.
Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

Найдите производную:

1. Понятие дифференциала функции.
Определение: Дифференциалом функции у=f(х) в точке
называется главная часть приращения функции.

Вычислите дифференциалы функций:

2.Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Определение 1:
Решите № 331

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), где хє(а;в),то множество всех первообразных для функции f(х) задается формулой F(x)+C,где
С-произвольная постоянная величина.

Определение 2:
Совокупность всех первообразных F(x)+C функции f(x),xє(а,в) называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Записывается ∫f(x)dx=F(x)+C

∫-знак интеграла;
f(x)-подинтегральная функция;
f(x)dx-подинтегральное выражение;
х-переменная интегрирования;
С- постоянная интегрирования.

Таблица интегралов

Пример с проверкой (формула 1) :

Замечания:
Нахождение функции по ее производной называется интегрированием(от integratio-восстановление);
Интегрирование- действие обратное дифференцированию;
Правильность интегрирования проверяется нахождением производной.

3.Геометрический смысл неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси ОХ

4.Основные свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:(∫f(x)dx)'=f(x);
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:d∫f(x)dx=f(x)dx;

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
∫dF(x)=F(x)+C;
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
∫af(x)dx=a∫f(x)dx;
5. Интеграл от суммы непрерывных функций равен сумме интегралов слагаемых:
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+g(x)dx.

Правила интегрирования

Пример2

Примеры 4 и 5

Пример 5 и6

Пример 7

Используется формула 12

Примеры 9,10,11,12,13

Задания на уроке Найдите интегралы следующих функци (без 7 примера):