Пересечение поверхностей. Лекция 8

Построение линии пересечения поверхностей,
одна их которых занимает проецирующее положение
Линией пересечения двух поверхностей называется линия, состоящая из множества точек общих для пересекающихся поверхностей.
Порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков пересекающихся поверхностей
Если пересекаются две поверхности, одна из которых занимает проецирующее положение,
то одна проекция линии пересечения совпадает со следом проецирующей поверхности,
а вторую проекцию линии пересечения находят из условия ее принадлежности непроецирующей поверхности
Рис. 8.1

Рис. 8.2
2'
1'
4'
3'
5'
S'
β'
h0α
3"
2"
1"
3"
4"
4"
5"
5"
β"
S"
α"
x
Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с построения характерных точек:
высшей и низшей,
ближайшей и наиболее удаленной,
точек изменения видимости линии
пересечения
1, 2 – характерные точки
R

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
При пересечении геометрической фигуры с плоскостью получается плоская фигура (сечение), принадлежащее секущей плоскости.
Линии пересечения конической поверхности вращения плоскостями называются кониками.
Рис. 8.3, а
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая – геометрическое множество точек, сумма расстояний от которых до заданных точек F1 и F2 равняется длине заданного отрезка AB, проведенного через точки F1 и F2 так, чтобы отрезок AF1 = F2B
3"
S"
e"
1"
2"
c"
f0α1
f0α2
f0α3
точка
эллипс
окружность
S'
1'
2'
3'
3'
с'
e'

Рис. 8.3, б
Параболой называется плоская разомкнутая кривая – геометрическое множество точек, одинаково удаленных от данных: точки F и прямой MN (не проходящей через точку F). F – фокус, MN – директриса параболы (направляющая); BE – ось параболы;
A – вершина параболы; CF – радиус-вектор параболы
a"
S"
p"
1"
3"
2"
f0β1
прямая
парабола
f0β2
2'
21'
1'
3'
31'
S'
a'
p'

Рис. 8.3, в
Гиперболой называется плоская разомкнутая кривая – геометрическое множество точек, разность расстояний которых от данных точек F1 и F2 равняется заданному отрезку AB.
A и B – вершины гиперболы,
F1 и F2 – фокусы гиперболы,
O – центр гиперболы,
КL – действительная ось,
CD – мнимая ось
3'
4'
S'
a'
b'
g'
31'
41'
S"
4"
3"
g"
a"≡ b"
f0γ2
f0γ1
гипербола
две прямые

Построение линии пересечения поверхностей
общего положения
Рис. 8.4
Алгоритм решения:
Ввести вспомогательную
поверхность-посредник ϒ1
Построить линии пересечения
m1 и n1 поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей
α и β
Определить точку пересечения K1 построенных вспомогательных линий
(п. п. 1, 2, 3 повторить n раз и получить последовательность
K1 K2 … Kn )
Через полученные точки
K1 K2 … Kn провести искомую линию l
Выбирать вид поверхности-посредника и ее расположение к данным фигурам следует так, чтобы вспомогательные линии проецировались как простейшие

γ"
γ'
γ
а) Вспомогательные проецирующие плоскости
Применение вспомогательных плоскостей при построении линии пересечения поверхностей

Рис. 8.5
f0γ1
f0γ2
f0γ3
f0γ4
z
x
0
α"
β"
1"
2"
α'
β'
2'"
21"'
Rк
Rсф
3"'
31'"
3"
4"
5"
6"
1'"
4'"
5'"
6'"
41'"
51'"
61'"

б) Вспомогательные плоскости общего положения
1'
2'
2"
1"
3'
3"
4'
4"
a'
Ha'
a"
Ha "

Применение вспомогательных сфер при построении линии пересечения поверхностей
1. Способ концентрических сфер
Основание для применения способа – соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям (общим параллелям)
Рис. 8.9
Рис. 8.8.

Область применения способа:
Обе пересекающиеся поверхности – поверхности вращения
Оси поверхностей вращения пересекаются
Плоскость симметрии, определяемая осями поверхностей вращения,
параллельна какой-нибудь плоскости проекций
Центр вспомогательных концентрических сфер – точка пересечения осей пересекающихся поверхностей
Радиусы вспомогательных сфер – от R min до R max
R min – имеет большая из двух сфер, вписанных в пересекающиеся поверхности
R max – имеет сфера, проходящая через наиболее удаленную точку пересечения меридианов пересекающихся поверхностей

Рис. 8. 10
α"
iα"
β"
iβ"
O"
1"
2"
Rmin
Rmax
O'
2'
1'
β'
α'
iα'
iβ'
План решения задачи:
Определяют центр концентрических
сфер
Характерные точки
Определяют R min и R max концентрических сфер
Определяют проекции
линий пересечения вспомогательной
сферы с заданными поверхностями
5. Определяют точку пересечения
построенных линий
6. Задают вспомогательные сферы,
повторяют п.п. 4, 5
7. Соединяют последовательно
полученные точки
8. Определяют видимость линии
пересечения

Рис. 8. 10
O"
O'
1'
2'
71'
7'
2"
1"
7"
β"
α"
iα"
iβ"
β'
α'
iα'
iβ'
3"
3'
31'
4"
5"
41'
4'
5'
51'
61'
6'
6"

2. Способ эксцентрических сфер
В основу способа положено обстоятельство, что одна и та же окружность с может принадлежать бесчисленному множеству сфер, центры которых находятся на перпендикуляре к плоскости окружности с
Рис. 8.11

Область применения способа:
Одна из пересекающихся поверхностей – поверхность вращения, вторая поверхность содержит семейство круговых сечений
2. Поверхности имеют общую плоскость симметрии
3. Плоскость симметрии параллельна одной из плоскостей проекций

Алгоритм построения линии пересечения поверхностей, используя способ эскцентрических сфер:
На поверхности с круговыми сечениями выбираем одно сечение а
Через центр С кругового сечения а проводим перпендикуляр к плоскости кругового сечения
Отмечаем точку О пересечения перпендикуляра с осью поверхности вращения
4. Строим сферу с центром в точке О и содержащую круговое сечение а
5. Строим линию в пересечения вспомогательной сферы с поверхностью вращения
Определяем точку К пересечения линий а и в
Горизонтальную проекцию точки К находим по ее принадлежности линии в

Рис. 8.12
1"
2"
f0γ
a"
C"
O"
b"
K"
K'
K1'
b'
iβ'
iα'
2'
1'
O'
f0γ1
f0γ2
iα"
iβ"
α"
β"
β'
α'
1. На поверхности с круговыми сечениями выбираем одно сечение а
2. Через центр С кругового сечения а проводим перпендикуляр к плоскости кругового сечения
3. Отмечаем точку О пересечения перпендикуляра с осью поверхности вращения
4. Строим сферу с центром в точке О и содержащую круговое сечение а
5. Строим линию в пересечения вспомогательной сферы с поверхностью вращения
6. Определяем точку К пересечения линий а и в
7. Горизонтальную проекцию точки К находим по ее принадлежности линии в

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рис. 8.13
Конические поверхности с общей вершиной пересекаются по общим образующим
Сумма порядков линий, на которые распадается кривая 4-го порядка, равна порядку самой линии

Цилиндрические поверхности с параллельными образующими пересекаются по общим образующим
Рис. 8.14

Две соосные поверхности вращения α и β пересекаются по общим параллелям а и в
Рис. 8.16
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рис. 8.15

ПОСТРОЕНИЕ ОЧЕРКА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Для построения очерковых образующих поверхности вращения с наклонной осью в нее вписывается ряд вспомогательных сфер и очерковая линия строится как огибающая проекций этих сфер
Рис. 8.17
i"
x
O1"
O2"
i'
O1'
O2'
O3'
O4'
O5'
O3"
O4"
O5"

Рис. 8.18
Для построения поверхности конуса вращения с наклонной осью
необходимо вписать в конус сферу и построить очерковые образующие конуса
S"
O"
1"
i"
i'
S'
O'
1'
11'

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теорема. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая , по которой они пересекаются
Рис. 8.20
Рис. 8.19

Теорема. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В , то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок АВ, соединяющий точки касания

Теорема Монжа
Проекция линии касания (окружность) цилиндра и сферы
Проекция линии касания (окружность) конуса и сферы
Эллипсы
Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания