Метод интервалов. 8 класс

Корни многочлена делят числовую ось на промежутки,
на каждом из которых функция сохраняет свой знак без изменения -
либо везде положителен, либо отрицателен.

х
у
0
Исследуем линейную функцию: у = kx + b
k > 0
k < 0
у
х
0
ЭТО ВАЖНО!
При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента.
k > 0
k < 0
k < 0
х0
х0

х
у
Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с
a > 0, D > 0
a < 0, D > 0
у
х
0
ЭТО ВАЖНО!
При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента.
a > 0
a < 0
х1
х2
х1
х2

х
Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с
a > 0, D = 0
a < 0, D = 0
у
х
0
ЭТО ВАЖНО!
При переходе через корень функции свой знак не поменяла, знак старшего коэффициента совпадает со знаком крайнего правого промежутка.
у
0
a > 0
a < 0
х0
х0

х
Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с
a > 0, D < 0
a < 0, D < 0
у
0
0
у
х
ЭТО ВАЖНО!
Функция сохраняет свой знак на всей числовой оси.
a < 0
a > 0

Выводы:
1) если корень функции встречается нечетное число раз, то при переходе через него функция меняет свой знак на противоположный; - если корень встречается четное число раз, то при переходе через него функция свой знак сохраняет;
2) если корней нет, то функция сохраняет свой знак на всей числовой оси;
3)знак на любом из промежутков можно определить методом подстановки;
4) знак справа от большего корня совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
привести неравенство к сравнению многочлена с нулем; найти корни многочлена, для дробно – рациональных неравенств корни числителя и знаменателя находят отдельно;
нанести корни на числовую ось (если неравенство строгое,
то корни на числовой оси «выкалываем;» корни знаменателя «выкалываем» всегда, т. к. на нуль делить нельзя);
определить знак на одном из промежутков;
расставить знаки на всех остальных промежутках;
записать ответ в соответствии со знаком неравенства.
ЭТО ВАЖНО!
Методом интервалов решают неравенства с нулем в правой части:
f(x) > 0; f(x) > 0.
g(x)

Решение неравенств

- 1
№1. x2 – 3х – 4 ≥ 0
х
4
Неравенство готово для решение методом интервалов,
т. к. в правой части находится нуль. Находим корни.
Корни : x2 – 3х – 4 = 0
х1 + х2 = 3
х1 х2 = - 4
х1 = 4
х2 = - 1
≥ 0
а =1> 0
Ответ: (- ∞ ; -1] U [4; +∞)

2
№2. – x2 + 6х – 8 > 0
х
4
Корни : - x2 + 6х - 8 = 0 | x (-1)
x2 - 6х + 8 = 0
х1 + х2 = 6
х1 х2 = 8
х1 = 2
х2 = 4
> 0
а = -1 < 0
Ответ: (2;4)

№3. 3x2 ≤ 1
х
Корни : 3x2 - 1 = 0
3х2 = 1
х2 = 1
х = ± 1
а = 3 > 0
Ответ:
3x2 - 1≤ 0
≤ 0
3
√3

1
№4. x2 – 2х + 1 > 0
х
Корни : x2 – 2х +1 = 0
(х – 1)2 = 0
х = 1 (2 раза)
> 0
а =1> 0
Ответ: (- ∞ ; 1) U (1; +∞)
чёт
№5. х2 - 2х + 1 ≥ 0
Ответ: (- ∞;+∞)
№6. х2 - 2х + 1 < 0
Ответ: Ø
№7. х2 - 2х + 1 ≤ 0
Ответ: 1

3
№8. (x – 3)18 > 0
х
Корни : x - 3 = 0
х = 3 (18 раз)
18
четная степень
Ответ: (- ∞ ; 3) U (3; +∞)
чёт
Обращаем внимание на знак перед старшим коэффициентом и на четность – нечетность степени.
а =1> 0

5
№9. (5 – х)5 ≥ 0
х
Корни : 5 - х = 0
х = 5 (5 раз)
5
нечетная степень
Ответ: (- ∞ ; 5]
а = -1< 0

1
№10. (1 - 3x)50 ≤ 0
х
Корни : 1 - 3x = 0
х = (50 раз)
50
четная степень
Ответ:
чёт
а =- 3 < 0
1
3
3
1
3

3
№11. (x – 1)(х – 2)(3 – х) ≥ 0
х
Корни :
1 ; 2 ; 3
Ответ: (- ∞ ; 1] U [2;3]
Знак произведения отрицательный.
а1 =1> 0
а2 =1> 0
а3 = -1< 0
1
2

1
№12. (x2 – 1)(х2 + 4x – 5) ≤ 0
х
Корни :
±1 ; -5 ; 1
Ответ: [ - 5; 1] U{1}
чёт
Знак произведения положительный.
а1 =1> 0
а2 =1> 0
-5
-1
1 1
чёт

6
№13.
х
Корни числителя :
± 2
Ответ: [ - 2; 2) U (2; 6)
чёт
Знак дроби отрицательный.
а1< 0
а2 > 0
-2
2
чёт
4 – x2
x2 - 8х +12
≥ 0
Корни знаменателя :
2; 6
2
2
(корни знаменателя «выкалываем» всегда)

3
№14.
х
Корни числителя :
± 1 (2 раза); 2 (3 раза); 3 (4 раза)
чёт
Знак дроби отрицательный.
-2
2
(1 – x)2 (2 – х)3(3 – х)4
x2 – 4
≥ 0
Корни знаменателя :
±2
1
чёт
чёт
Ответ: (- ∞ ; 2) U {1;3}