Решение дифференциальных уравнений методом ломаных Эйлера с использованием электронных таблиц MS Excel

Большинство физических, химических, экономических и прочих процессов описываются дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений. Возникает необходимость получения результатов их решения. И не всегда есть возможность получить точный ответ аналитическим способом.
Поэтому требуются навыки в решении ДУ с использованием численных методов. Один из таких методов – метод ломаных Эйлера. Рассмотрим решение дифференциального уравнения усовершенствованным методом ломаных Эйлера, который имеет большую точность расчетов.

Даем название столбцам таблицы в соответствии с алгоритмом для решения ДУ аналитически.
Создание таблицы

Длина отрезка равна единице, а шаг разбиения – 0,05. Количество узловых точек – 21. Записываем в таблицу.

Находим первый аргумент «внешней функции».

Ищем значение функции в точке, рассчитанной с учетом погрешности.

Полученный результат умножаем на шаг разбиения.

Копируем полученные значения по образцу. (Выделяем значения полей D, E, F, G, H и «растягиваем» на одну строку вниз)

(Выделяем значения полей C, D, E, F, G, H и «растягиваем» до конца таблицы)

Искомое приближенное решение:

При решении данного ДУ аналитически результат будет равен ─ 2,71875.
Вывод: усовершенствованный метод ломаных Эйлера дает более точные результаты в отличие от «классического» метода. Связано это с тем, что производная берется не в начале шага, а как промежуточное или среднее на разных участках одного шага. В процессе использования метода вычисляются несколько производных в разных частях шага, которые впоследствии усредняются. За счет этого точность метода возрастает на порядок.