Многогранники

«Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора» – это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия Ле Корбюзье (1887–1965).

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:
Правильный многогранник
тетраэдр
куб
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр

Эта фигура состоит из четырех правильных тре-
угольников. Если развернуть их на плоскости, они
образуют равносторонний треугольник — символ
Бога.
Как и равносторонний треугольник, тетраэдр
представляет собой воплощение самой гармонии
и равновесия. Угловые же точки куба, как и
квадрата, находятся на разных расстояниях друг
от друга, а это значит, что в этих фигурах есть
постоянное напряжение.
Тетраэдр.

Куб — квадрат в трех измерениях, каждая грань которого
имеет те же характеристики, что и остальные, поэтому он
стал эмблемой правды. В иконографии часто используется
как постамент для аллегорических фигур Правды и Истории.
Согласно преданию народа майя, Древо Жизни выросло из
куба. Как в иудаизме, так и в исламе куб являет собой центр
веры. Паломники в Мекке обходят вокруг кубического соо-
ружения Каабы, наиболее почитаемой мусульманской свя-
тыни.
Развертка куба в пространство представляет
собой крест, и если христианские церкви обычно
строятся так, что имеют в плане форму креста,
то это именно потому, что крест — развертка в
плоскость кубического камня: церковь должна
представлять собой утверждение религии Христа на земле
на долгие времена.
Куб.

Собственно говоря, октаэдр является
«двойником» куба: если соединить
центры смежных граней куба, то
получится октаэдр.
Октаэдр.

Додекаэдр — настолько сакральная форма, что во времена Пифагора, если бы кто-то произнес это слово вне пифагорейской школы, его убили бы на месте. Двумя стами годами позже, когда жил Платон, он уже мог говорить о нем, но очень осторожно. «Это отчасти объяснялось тем, что с додекаэдром связывали пятый элемент — эфир, или прану. В алхимии обычно речь идет только о четырех элементах: огне, земле, воздухе
и воде, а о пране говорится редко, потому что она считается очень сакральной. Другая причина в том, что
в те времена тщательно скрывалось древнее знание, согласно которому додекаэдр близок к внешнему краю энергетического поля человека и является высшей формой сознания... Додекаэдр — это конечная точка геометрии, и он очень важен. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр — это взаимосвязанные параметры ДНК, план - карта всей жизни»
Додекаэдр.

Если соединить центры граней додека-эдра прямыми линиями, то получится икосаэдр. Соединив центры граней икосаэдра, снова получим додекаэдр. Многие многогранники имеют «двойни-ков». Вообще многогранник — одна из трехмерных геометрических фигур. Во все времена им предавали магическое значение.
Икосаэдр.

Историческая справка.
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии.
Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.
Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник.
Пентаграмма, на языке математики - это правильный
невыпуклый или звездчатый пятиугольник.

Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

Леонард Эйлер
(1707 – 1783 гг.)
немецкий математик и физик
Эйлер родился в швейцарском городе Базеле в 1707 году.
Начальное обучение будущий ученый прошел дома под
руководством отца, учившегося некогда математике у
Якоба Бернулли. В 13 лет Эйлер поступил на факультет
искусств Базельского университета.
Среди других предметов на этом факультете изучались
элементарная математика и астрономия, которые препо-
давал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талант
юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно. Так
как в то время не существовало учебников по математике, вместе разбирать
прочитанное. «Несомненно, это лучший способ делать успехи в математичес-
ких науках, – писал Эйлер впоследствии. После разъяснения одной трудности
десятки других исчезали

Теорема Эйлера.
Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В+Г-Р=2.
Число = В+Г-Р называется эйлеровой характеристикой многогранника.

Правильные многогранники
в природе и исскустве.
кристаллы
вирусы
пчелинные соты
живопись
архитектура
оригами

«Правильные многогранники и природа»
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Чтобы установить его форму, брали разные многогранники, направляли их на свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.
Часто люди, рассматривали чудесные, переливающиеся многогранники кристалов, не могут поверить, что их создала природа, а не человек. Именно поэтому родилось так много удивительных сказаний о кристаллах. Сохранились письменные материалы, например, так называемый «папирус Эберса», который содержит описание методов лечения камнями с особыми ритуалами и заклинаниями. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим
широко пользуется куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напомина
ют отточенный с двух сторон карандаш, т.е. форму шестиугольной призмы, на основании которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в форме октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепи педа. Гранат – ромбододекаэдр (двенадцатигранник), у которого все грани –.

Использование многогранников в архитектуре
Геометрическая конструкция,
которую построил солнцеед,
целитель и строитель пирамид
Николай Николаевич Долгорукий
От простого наклонного остекле-
ния в форме односкатной или
двускатной крыши до крыш с
более сложной геометрией типа
многогранников,куполов или
пирамид.
Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природ ного ландшафта, которому противо поставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Многогранники в живописи
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''
Сальвадор Дали -обращение к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних и имела ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.
Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание, что изображено на переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Знаменитый художник,
увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) ,
в известной гравюре
''Меланхолия ''.
На переднем плане изобразил
додекаэдр.
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер создал уникальные и очаровательные работы, в которых исполь- зован или показан широкий круг математических идей.
Вот только две из его работ: «Порядок и хаос» и «Звезды».

Оригами.
Оригами - увлекательное занятие не только для детей, но и для
подростков и даже взрослых! В руках каждого бумага оживает:
машет крыльями журавлик, семенит, спускаясь с горки, челове-
Сколько радости, сколько восторга! Ни с чем несравнимо
чувство удовлетворения от выполненной своими руками
поделки. Такая игрушка мила сердцу, с ней разговаривают, ее
Бережно хранят! Прыгающие лягушки, надувные шарики,
Коробочки для всевозможных мелочей, изящно сложенные
салфетки для праздничного стола – мир оригами бесконечен!!!
Бумага – благодатный материал. Ее легк о сгибать резать,
скручивать, можно подкрасить, а если подмочить – возникнет
бумажная скульптура. Метод мокрого складывания дается не
сразу, сначала нужно поупражняться на более простых
фигурках.
Одной из моделей оригами является кусудама. Кусудама – это
яркий многогранник, в котором японцы хранят сухие целебные
травы. Его обычно подвешивают у постели больного.

Развёртки

Вырежьте три полоски: белую, чёрную, красную.
Сложите белую полоску.
Оберните её чёрной полоской.
Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, остальные – чёрные.
Третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и чёрной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и чёрной полоской.
Как можно сделать из бумаги?
Плетем куб