Nepreryvnost_funktsii (1)

Содержание

Слайд 2

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности

Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой
точки x0, и в самой точке x0.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1

Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.

2

Функция y = f(x) имеет предел при

3

Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Слайд 3

Непрерывность функции в точке

Так как

то равенство (1) можно записать в виде:

Это

Непрерывность функции в точке Так как то равенство (1) можно записать в
значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции:

Равенство справедливо в силу непрерывности функции y = ex

Слайд 4

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале

Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой
(a; b).

Возьмем произвольную точку

Разность x – x0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается:

х0

y0 = f(x0 )

х

y = f(x )

Разность соответствующих значений функций f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0 и обозначается:

Слайд 5

Непрерывность функции в точке

х0

y0

Преобразуем равенство (1):

Полученное равенство является еще одним определением непрерывности

Непрерывность функции в точке х0 y0 Преобразуем равенство (1): Полученное равенство является
функции в точке:

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке x0 и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Слайд 6

Точки разрыва функции

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками разрыва функции.

Если

Точки разрыва функции Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками разрыва
x = x0 – точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности, а именно:

2

Функция f(x) определена в окрестности точки х0 , но не определена в самой точке х0 :

1

не определена в точке х = 2 , но определена в любой окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.

Функция

Слайд 7

Точки разрыва функции

2

Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности,

Точки разрыва функции 2 Функция f(x) определена в точке х0 и в
но не существует предела f(x) при

2

определена в точке х = 2 , но но не имеет предела при

Функция

не существует, значит
х = 2 - точка разрыва

Слайд 8

Точки разрыва функции

2

3

х = 0 -точка разрыва

1

Точки разрыва функции 2 3 х = 0 -точка разрыва 1

Слайд 9

Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции f(x)

Точки разрыва функции Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции
, если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа:

При этом:

Величину называют скачком функции в точке разрыва 1 рода.

Слайд 10

Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции f(x)

Точки разрыва функции Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции
, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

В примере 1:

х = 2 – точка разрыва 2 рода.

Слайд 11

Основные теоремы о непрерывных функциях

Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть функция

Основные теоремы о непрерывных функциях Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть
непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, где знаменатель равен нулю)

Теорема 1

Теорема 2

Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x0.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Слайд 12

Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Функция y = f(х) называется непрерывной

Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Функция y = f(х) называется
на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна справа:

а в точке x = b непрерывна слева:

Имя файла: Nepreryvnost_funktsii-(1).pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0