Узоры таблицы пифагора

Паспорт проекта:
В работе изучается свойства таблицы Пифагора «Узоры таблицы Пифгора». Для моделирования и изучения свойств используется язык программирования Pascal ABC.
Цель работы:
Составить программу для исследования одного из свойств таблицы Пифагора
Объект исследования:
Объектом исследования выступает таблица Пифагора
Придмет исследования:
Предметом исследования является закономерность таблицы Пифагора
Гипотеза исследования:
Изучения и исследование закономерности таблицы Пифагора позволит понять, что лежит в основе «удивительных узоров Пифагора»
Результат:
Результат моей работы-это полученные знания по построению красивых узоров в удивительной «таблице Пифагора» с помощью программирования.

Задача работы:
1. На основе анализа научной, исторической и методической литературы получить теоретические знания о таблице Пифагора и ее свойствах.
2. Выделить необходимые знания о закономерности в таблице Пифагора, отвечающей за «узоры».
3. Изучить среду программирования Pascal ABC.
4. Построить алгоритм, позволяющий исследовать указанную закономерность.
5. Составить программу на языке Pascal ABC для исследования закономерности.
6. Исследовать с помощью программы таблицу Пифагора и сделать выводы.

Глава 1. Теоретическая часть исследования
1.1. История таблицы Пифагора
Таблица умножения или как её ещё называют «Таблица Пифагора». Это таблица, где предоставлены произведения чисел от 2 до 9. Это квадрат, стороны которого - множители, а в ячейках стоят их произведения. Эту таблицу можно расширять до бесконечности вправо и влево. Но есть один интересный факт, что Пифагор не является основателем этой таблицы.
В 493 году появился вариант, его предложил учёный, которого звали Викторий Аквитанский, он записал таблицу, которая состояла из 98 столбцов, таблица была записана римскими цифрами в результате умножения чисел от 2 до 50. А ещё шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в 1820-м году в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения, в которой находилось до 99 столбцов. Он стал первым человеком, который рекомендовал своим ученикам учить эту таблицу

Вообще современная таблица умножения появилась на Руси благодаря математику Леонтию Филипповичу Магницкому. Он в 1707 году издал первый учебник по математике. И этот учебник назывался «Арифметика». В этом учебники были такие таблицы, как таблица сложения и таблицы умножения.

1.2. Свойства и закономерности таблицы Пифагора
Все мы пытались заучить таблицу умножения и не пытались понять её свойства. Мы учили эту таблицу как стишок. Эта таблица раньше, как и сейчас была расположена на задней обложке тетради. Однако, на тетрадях расположена совсем не та таблица умножения. Правильной таблицей умножения является таблица Пифагора. Эта таблица является очень интересной и скрывает в себе много секретов. На рисунке 1.2 представлена таблица Пифагора
Эта таблица скрывает в себе много секретов. Конечно, можно их не разбирать, а просто выучить эта таблицу. Это будет легко, но совсем неинтересно. А вот, если мы будем разбирать каждое её свойство, то работа с таблицей может очень сильно увлечь любого человека. Когда мы изучим загадки таблицы Пифагора, мы будем ее знать и пользоваться ее скрытыми формулами.

Давайте разберемся, чем же таблица Пифагора лучше, чем обычная таблица умножения? Я попытаюсь ответить на этот вопрос. Во-первых, я считаю, что в ней нет лишней информации. То есть это квадрат 9*9, где нет лишней информации. Во-вторых, над ней можно очень долго думать и разгадывать все её свойства и закономерности. Даже нигде не написано, что это таблица умножения — просто таблица. В-третьих, если она постоянно находится рядом с Вами, на Вашем рабочем столе, то есть постоянно перед глазами, числа запоминаются сами собой. Кроме того, вы можете обнаружить много закономерностей.
Мы все знаем математическое правило, что от перестановки мест множителей произведение не меняется. Это правило действует и в таблице Пифагора. Если мы возьмем, например, числа 5 и 6. То разницы не будет, если мы возьмём 5 сверху, а 6 слева и перемножим их. И также, но возьмём 5 справа, а 6 сверху. То разницы не будет.
Давайте посмотрим на еще одно свойство. Если взять любое число и провести прямоугольник от начала таблицы до этого числа, то количество клеточек в прямоугольнике — ваше число. И тут умножение получает более глубокий смысл, чем просто сокращенная запись нескольких одинаковых множителей. Это правило из геометрии: площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

1.3 Язык программирования Pascal ABC
Для исследования «узоров таблицы Пифагора» я решил использовать язык программирования Pascal ABC. Этот язык мы как раз начали изучать на уроках информатики в школе. Меня заинтересовало, как написать программу на Pascal ABC, которая позволит исследовать указанное свойство таблицы Пифагора.
Используя графические примитивы Pascal ABC можно создавать изображения. Для создания изображений необходимо использовать модуль GraphABC. Это простая графическая библиотека, предназначенная для создания несобытийных графических и анимационных программ. Я использовал графические примитивы, представляющие собой процедуры, осуществляющие рисование в графическом окне.
Я использовал оператор цикла for, оператор выбора case, бинарные операции div и mod, графические примитивы, подпрограммы для работы с пером и кистью. Подробнее о написании программы для исследования свойства «узоры таблицы Пифагора» написано в главе 2.

Глава 2. Практическая часть исследования
2.1. Моделирование зависимости между числами – множителями таблицы Пифагора средствами Pascal ABC
Поскольку для исследования таблицы Пифагора мы используем компьютер, монитор – является устройством вывода информации, на котором будет отображаться результат работы наших программ.
Каждое число таблицы Пифагора - это «точка» координатной плоскости монитора. Эти точки будем окрашивать разными цветами, в зависимости от свойств чисел-квадратов таблицы Пифагора. Будем использовать 2 цвета (желтый и синий), чтобы узоры не были слишком пёстрыми. Все числа-квадраты будем делить на коэффициент (до 32) и брать остатки от деления. Использовать будем расширенную таблицу Пифагора. Пример одной из программы представлен ниже Program Pifagor. В этой программе я использовал оператор цикла for, оператор выбора case, бинарные операции div и mod, графические примитивы, подпрограммы для работы с пером и кистью: SetPenColor(), SetBrushColor().
Число – множитель по горизонтали обозначим i, по вертикали – j. Для построения квадрата будем использовать процедуру:
rectangle(i*10-9, j*10-9, i*10, j*10).
Я использовал функции для работы с размерами графического окна:
WindowWidth, WindowHeight

Program Pifagor;
uses graphABC;
var
i, j, ost: byte;
zvet1, zvet2 : color;
begin for i:=1 to Window.Width-1 do
for j:=1 to Window.Width-1 do
begin
ost := (i) * (j) mod 22;
case ost of
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31:
begin
zvet1 :=clYellow;
zvet2 :=clYellow;
end;
2,5,8,11,14,17,20,23,26,29:
begin
zvet1 :=clBlue;
zvet2 :=clBlue;
end;
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30:
begin
zvet1 :=clYellow;
zvet2 :=clYellow;
end;
0:begin
zvet1 :=clBlue;
zvet2 :=clBlue;
end;
end;
SetPenColor(zvet1);
SetBrushColor(zvet1);
Rectangle(i * 10 - 9, j * 10 -9, i * 10, j * 10)
end;
end.

2.2. Исследование закономерности таблицы Пифагора с помощью программы
В результате своего исследования я выяснил, что, чем больше коэффициент, на который мы делим квадраты, тем интереснее узор мозаики. Если использовать одновременно две бинарные операции div и/или mod, то начертание узора меняется кардинально.
Я использовал следующие коэффициенты:
ost := (i) * (j) mod 22
ost := (i) * (j) mod 22 mod 5
ost := (2*i) * (2*j) mod 25
ost := (i) * (j) mod 31
ost := (i) * (j) div 5 mod 5
и другие
В приложении 1 я представил коды программ и результаты их выполнения, демонстрирующие загадки таблицы Пифагора. Получилось достаточно красиво.
Задача на изучение свойств таблицы Пифагора средствами Pascal ABC оказалась очень интересной. Оказывается на основе этой древней числовой схемы можно составлять различные мозаики.

Рисунок 2.2