Основные фигуры планиметрии

Планиметрия - раздел геометрии, изучающий свойства геометрических фигур на плоскости.
Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d.
а, b, c - прямые.
A, B, C, D, E - точки.
Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.
Точка А не принадлежит ни одной прямой.
Точка В принадлежит прямой а,
точка D - прямой b,
точка C - прямой а и с,
точка Е - прямой b и c.
Основные фигуры планиметрии

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.
3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.
Аксиомы планиметрии

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.
8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна 180°.
Смежные углы
Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым.

Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными.
Теорема: Вертикальные углы равны.
Вертикальные углы
Доказательство. Пусть a1 b1 и a2 b2 - данные вертикальные углы. Угол a1b1 является смежным с углом a1b2. Угол a1b2 является смежным с углом a2b2. Тогда a1b1+ a1b2= 180° ; a2b2+ a1b2= 180° откуда a1b1+ a1b2= a2b2+ a1b2. Следовательно a1b1= a2b2.

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикулярными.
Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.
Перпендикулярные прямые

Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Угол А = А1, стороны AB = A1B1AC = A1C1 (рис 8а).
Признаки равенства треугольников

Возьмем третий треугольник А1В2С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 = А1В2С2расположим таким образом, что стороны А1В1 и А1В2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В2 лежит на полупрямой А1В1, а вершина С2 лежит в той же полуплоскости, где и С1. (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А1В2 = А1В1, т.е. точки В1 и В2 совпадают.
Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С1А1В1 и С2А1В2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A1B1C1 и A1B2C2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A1B1C1.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.
2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.
Теорема Пифагора

Основные формулы планиметрии
1. Произвольный треугольник:
2. Прямоугольный треугольник:
3. Равносторонний треугольник:
4. Произвольный выпуклый четырехугольник
5. Параллелограмм
6. Ромб:
7. Прямоугольник:
8. Квадрат
9. Трапеция
10. Описанный многоугольник
11. Правильный многоугольник
12. Окружность, круг
13. Сектор

Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Равносторонний треугольник

Произвольный выпуклый четырехугольник

Параллелограмм

Ромб

Прямоугольник и квадрат

Трапеция

Описанный многоугольник и правильный многоугольник

Окружность, круг