Основы теории оболочек вращения

Основы теории оболочек вращения
безмоментная теория оболочек;
моментная теория оболочек.
Оболочка является более сложным объектом – она представляет собой тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h (толщина оболочки) мало по сравнению с другими характерными размерами
Оболочку называют тонкой, если ее толщина значительно меньше (в 20 и более раз), чем прочие размеры.

Геометрия оболочек вращения
Срединной или средней поверхностью оболочки называется поверхность, равноудаленная от ее внутренней и наружной поверхностей.
Основными геометрическими понятиями теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочки.
Откладывая по внутренним нормалям к срединной поверхности оболочки отрезки длиной z и соединяя их концы, получим новую поверхность, которую назовем слоем z оболочки.

Геометрия оболочек вращения
Геометрия оболочки вращения полностью определяется формой ее срединной поверхности:
сферические;
конические;
цилиндрические.
Обычно все встречающиеся на практике оболочки имеют постоянную толщину.

Геометрия оболочек вращения
Срединная поверхность оболочки вращения получается в результате вращения плоской кривой относительно оси, лежащей в плоскости этой кривой. Такая кривая называется меридианом.
Меридианы являются линиями главных кривизн и их принимают в качестве координатных линий. Меридиан – образующая срединной поверхности.
Параллели – окружности, образованными пересечением срединной поверхности оболочки с плоскостями, перпендикулярными ее оси, – представляют семейство других координатных линий.

Геометрия оболочек вращения
Произвольную точку срединной поверхности вращения определим как точку пересечения параллели и меридиана.

Геометрия оболочек вращения

Геометрия оболочек вращения

Геометрия оболочек вращения
Получение зависимости между
радиусами кривизны

Гипотезы Кирхгофа
остается прямолинейным, нормальным к деформированной поверхности;
сохраняет свою длину.
1. Кинематическая гипотеза. Нормальный к поверхности отсчета прямолинейный элемент оболочки после деформации
2. Статическая гипотеза.
Нормальные напряжения в площадках, параллельных поверхности отсчета, малы, и по сравнению с другими напряжениями ими можно пренебречь.
Касательные напряжения, перпендикулярные поверхности отсчета, рассматриваются как чисто статические факторы. Они определяются только из уравнений равновесия, а их связь с составляющими деформаций не учитывается.

Определение деформаций срединной поверхности
Обозначение перемещений

Определение деформаций срединной поверхности
Деформация срединной поверхности в плоскости меридиана

Определение деформаций срединной поверхности
Деформация срединной поверхности в направлении параллели

Определение деформаций срединной поверхности
Деформация сдвига элемента срединной поверхности оболочки

Определение деформаций срединной поверхности

Определение деформаций срединной поверхности
Цилиндрическая оболочка

Определение деформаций срединной поверхности
Сферическая оболочка

Безмоментная теория оболочек
Согласно этой теории считают, что изгибающие моменты равны нулю и, следовательно, предполагают, что напряжения распределены равномерно по толщине оболочки.
Эта теория применима в тех случаях, когда оболочка не имеет резких переходов и закреплений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами.
Безмоментная теория оболочек – приближенная теория расчета без учета изгибающих и скручивающих моментов.
При резких изменениях формы и в местах крепления возникают повышенные напряжения, обусловленные изгибным эффектом.
Для решения таких задач используется моментная теория оболочек.
Использование моментной теории показывает, что влияние этих факторов распространяется только на участки, близкие к особым точкам.
Поэтому на достаточном удалении от этих областей напряжения могут быть определены по безмоментной теории.

Безмоментная теория оболочек
В безмоментной теории оболочек эти напряжения считаются равномерно распределенными по толщине оболочки.
Погонные усилия

Безмоментная теория оболочек

Безмоментная теория оболочек
Уравнения равновесия
– уравнение Лапласа

Безмоментная теория оболочек
Физические соотношения
Геометрические соотношения

Уравнения безмоментной теории оболочек для осесимметричной задачи
Уравнения равновесия

Уравнения безмоментной теории оболочек для осесимметричной задачи
Физические соотношения
Геометрические соотношения

Сферическая оболочка при действии внутреннего давления
Для сферической оболочки
По условиям полной симметрии для сферы
Из уравнения Лапласа
Деформации
Перемещение

Цилиндрическая оболочка при действии внутреннего давления
Для цилиндрической оболочки
Из уравнения Лапласа
Кольцевое напряжение
Осевое напряжение
осевая составляющая сил давления
нормальная сила от действия напряжений

Цилиндрическая оболочка при действии внутреннего давления
Осевая деформации
Перемещение
Погонные усилия
Окружная деформация

Цилиндрическая и сферическая оболочка при действии внутреннего давления
В месте стыка цилиндра и сферы
увеличение радиуса цилиндра от действия сил давления по безмоментной теории
увеличение радиуса сферы от действия сил давления по
безмоментной теории
Стальная оболочка

Особенности работы оболочек

Уравнения моментной теории оболочек

Уравнения моментной теории оболочек

Уравнения моментной теории оболочек
Выражения для деформаций

Уравнения моментной теории оболочек
Выражения для деформаций

Уравнения моментной теории оболочек
Физические соотношения (слой оболочки считают находящимся в условиях ПНС):

Уравнения моментной теории оболочек
меридиональное погонное усилие
кольцевое погонное усилие
сдвигающее погонное усилие

Уравнения моментной теории оболочек
Погонные моменты:
погонный изгибающий момент в меридиональной плоскости
погонный окружной изгибающий момент
погонный крутящий момент
– цилиндрическая жесткость оболочки на изгиб.

Уравнения равновесия моментной теории оболочек

Уравнения равновесия моментной теории оболочек

Уравнения равновесия моментной теории оболочек
На рисунке моменты изображены в виде векторов, перпендикулярных плоскости их действия.
Положительное направление векторов соответствует правилу правого винта.
На рисунке показаны положительные направления моментов.

Уравнения равновесия моментной теории оболочек
Уравнение равновесия сил в проекции на касательную к меридиану
Уравнение равновесия сил в проекции на касательную к параллели
Уравнение равновесия в проекции на нормаль
Шестое уравнение равновесия элемента – равенство нулю суммы моментов относительно нормали – должно быть следствием парности касательных напряжений и выполняется автоматически.

Полная система уравнений моментной теории оболочек
Геометрические соотношения:

Полная система уравнений моментной теории оболочек
Физические соотношения:

Полная система уравнений моментной теории оболочек
Уравнения равновесия:

Уравнения моментной теории оболочек при осесимметричной деформации
Геометрические соотношения:

Физические соотношения
Уравнения моментной теории оболочек при осесимметричной деформации

Уравнения равновесия
Уравнения моментной теории оболочек при осесимметричной деформации

Краевой эффект для
цилиндрической оболочки
Для цилиндрической оболочки

Краевой эффект для
цилиндрической оболочки
Из второго уравнения равновесия сил для случая осесимметричной деформации
Для усилия
Из уравнения

Краевой эффект для
цилиндрической оболочки

Краевой эффект для
цилиндрической оболочки