Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание
Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма
Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости
Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости
Перпендикуляр и наклонные
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью

Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
а
b
с
а ⊥ b
c ⊥ b
α

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
A
C
a
α
M
b
c
Дано: а || b, a ⊥ c
Доказать: b ⊥ c
Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
α
а
а ⊥ α

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
α
х
Дано: а || а1; a ⊥ α
Доказать: а1 ⊥ α
Доказательство:

Теорема 2
α
Доказать: а || b
Доказательство:
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а ⊥ α; b ⊥ α
M
с

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
α
q
Доказать: а ⊥ α
Доказательство:
p
m
O
Дано: а ⊥ p; a ⊥ q
p ⊂ α; q ⊂ α
p ∩ q = O

α
q
l
m
O
a
p
B
P
Q
Доказательство:
L
а) частный случай
A

α
q
a
p
m
O
Доказательство:
а) общий случай
a1

Теорема 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
α
а
М
b
с
Доказать:
1) ∃ с, с ⊥ α, М ∈с;
2) с – !
Доказательство:
Дано: α; М ∉α

Задача
Найти: MD
А
В
D
M
Решение:
Дано: ΔABC;
MB ⊥ BC; MB ⊥ BA;
MB = BD = a
Доказать: МB ⊥ BD
C
a
a

Задача 128
Доказать: OМ ⊥ (ABC)
Дано: ABCD - параллелограмм;
AC ∩ BD = O; М ∉(ABC);
МА = МС, MB = MD
А
В
D
C
O
М
Доказательство:

Задача 122
Найти: AD; BD; AK; BK.
А
В
D
C
O
К
Решение:
12
16

Перпендикуляр и наклонные
М
А
В
Н
α
МН ⊥ α
А ∈ α
В ∈ α
МА и МВ – наклонные
Н ∈ α
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
М ∉ α

Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
Н
М
α
β
а
Дано: а ⊂ α, АН ⊥ α,
АМ – наклонная,
а ⊥ НМ, М ∈ а
Доказать: а ⊥ АМ
Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
А
Н
М
α
β
а
Дано: а ⊂ α, АН ⊥ α,
АМ – наклонная,
а ⊥ АМ, М ∈ а
Доказать: а ⊥ НМ
Доказательство: