Параллельные прямые. Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
b
a
Обозначают: a || b

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
q
p
B
A
D
p || q,
AB || CD
K
L
M
N
C

Q
P
n
PQ || n
T
S
E
F
ST || EF

a
b
c
a || b

1
3
4
2
5
6
7
8
∠ 3 и ∠ 5, ∠ 4 и ∠ 6 – внутренние накрест лежащие.
∠ 1 и ∠ 7, ∠ 2 и ∠ 8 – внешние накрест лежащие.

a
b
c
1
3
4
2
5
6
7
8
∠ 4 и ∠ 5, ∠ 3 и ∠ 6 – внутренние односторонние.
∠ 1 и ∠ 5, ∠ 4 и ∠ 8, ∠ 2 и ∠ 6, ∠ 3 и ∠ 7 – соответственные.
∠ 2 и ∠ 7, ∠ 1 и ∠ 8 – внешние односторонние.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство.
Если ∠ 1 = ∠ 2 = 90°, то а ⊥ АВ, b ⊥ АВ.
Значит, а || b.
Если ∠ 1 = ∠ 2 ≠ 90°.
Рассмотрим ∆ ОСА и ∆ ОС1В.
АО = ОВ,
АС = ВС1,
∠ 1 = ∠ 2.
Следовательно, ∆ ОСА = ∆ ОС1В (по первому признаку).
Так как ∠ 5 = 90° и ∠ 5 = ∠ 6,
Получаем, что СС1 ⊥ а, СС1 ⊥ b,
то есть а || b.
Теорема доказана.

Задача. Докажите, что если два отрезка KL и MN равны и параллельны, то отрезки КМ и LN, соединяющие их соответственные концы, параллельны.
Доказательство.
K
N
M
L
Рассмотрим ∆ KMN и ∆ KLN.
КN – общая,
KL = MN,
∠ 1 = ∠ 2 (как накрест лежащие).
1
2
Тогда ∆ KMN = ∆ KLN
(по первому признаку).
Значит, ∠ LNK = ∠ MKN.
Следовательно, КМ || LN.

а || b

Рейсшина