Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах

Цели урока:
обучающие: создать условия для формирования основных понятий перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, расстояния от точки до плоскости; рассмотреть свойства наклонных и их проекций; рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной, закрепить эти понятия в ходе решения задач.
развивающие: развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес, расширять представления учащихся об окружающем мире, поддерживать интерес к изучаемому предмету; содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность;
воспитывающие: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету, ответственность и доброжелательность.

«ПРОБЛЕМА»
Между двумя домами решили провести локальную компьютерную сеть. Сколько метров сетевого кабеля необходимо приобрести, если высота одного дома 30 м, другого – 15 м, а проекционное расстояние по земле между точками подключения – 20 м? (учесть запас на провис кабеля – 2 м).

Перпендикуляр и наклонная к плоскости
АС - перпендикуляр к плоскости α,
АВ – наклонная,
СВ – проекция наклонной
С – основание перпендикуляра
В – основание наклонной
α
А
С
В
а
Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

Теорема о перпендикуляре и наклонной
Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Свойства перпендикуляра и наклонных
А
В
С
О
α
АВ2 =
Свойства наклонных, выходящих из одной точки
1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки.
2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот.
3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

ВС - проекция
Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и к самой наклонной

Доказательство:
1. Проведем плоскость AВС.
2. АС ⊥ α, a ⊂ α ⇒ a ⊥ АС
a ⊥ ВС – по условию
3. АС ⊂ AВС
ВС ⊂ АВС;
АС∩ ВС
⇒ a ⊥ АВС
4. АВ ⊂ АВС
a ⊥ АВС
⇒ a ⊥ АВ

Задача
Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.