Первообразная и интеграл

умножение
деление
сложение
вычитание
возведение в степень
извлечение корня
дифференцирование
интегрирование
Взаимно-обратные операции
процесс нахождения производной
процесс нахождения первообразной

Первообразной для функции f(x) называется функция, производная которой равна данной
Определение первообразной
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство:
Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку (x2/2)’=x.

Таблица первообразных некоторых функций

Основное свойство первообразных
Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).
Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.
Геометрическая интерпретация

Найти производную функции F(x):
Вывод: для данной функции существует множество первообразных, их можно записать в виде F(x)+C
Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её- значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C

Найти первообразную функций

Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :
,
где C – произвольная постоянная.
Пример:
Так как первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку (x2/2)’=x.

Правила интегрирования

Свойства интеграла, вытекающие из определения
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Примеры

Примеры