Комплексные числа

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Тогда имеют место равенства:
Следовательно, комплексное число z можно представить в виде:
φ
Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого
r

Действия над комплексными числами
тогда произведение находится по формуле:
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Произведение сопряженных комплексных чисел:

Действия над комплексными числами
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

Действия над комплексными числами
Возведение в степень комплексного числа.
Извлечение корня из комплексного числа.

Действия над комплексными числами
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:

Действия над комплексными числами
Найти все значения кубического корня из единицы
A
В
С

Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z.
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
Пример:
(1)

Показательная форма комплексного числа
Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.
(2)
Заменим в формуле (2) y на – y:
(3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :

Показательная форма комплексного числа
Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
По формуле Эйлера:
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме:
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Пусть имеем:
Тогда: