Планиметрия (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №6 «ПЛАНИМЕТРИЯ»
Задание содержит:
Прямоугольный треугольник: вычисление углов
Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов
Прямоугольный треугольник: вычисление элементов
Равнобедренный треугольник: вычисление углов
Равнобедренный треугольник: вычисление элементов
Треугольники общего вида
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Трапеция
Центральные и вписанные углы
Касательная, хорда, секущая
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в четырехугольник
Окружность, вписанная в многоугольник
Окружность, описанная вокруг треугольника
Окружность, опи­сан­ная вокруг четырехугольника
Окружность, опи­сан­ная вокруг многоугольника

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Задание:
Решение:
В параллелограмме ABCD AB = 5, AD = 3, sin A = 0,6. Найдите большую высоту параллелограмма.
Ответ: 3.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Задание:
Решение:
Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 33. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Ответ: 16,5.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Задание:
Решение:
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 65.
Ответ: 26.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Задание:
Решение:
Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 90.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Задание:
Решение:
Площадь параллелограмма ABCD равна 159. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB.
Ответ: 119,25.

ПРЯМОУГОЛЬНИК
Задание:
Решение:
Площадь прямоугольника равна 192. Найдите его большую
сторону, если она на 4 больше меньшей стороны.
х
х + 4
Ответ: 16.

ПРЯМОУГОЛЬНИК
Задание:
Решение:
Периметр прямоугольника равен 76, а площадь 192. Найдите
большую сторону прямоугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНИК
Задание:
Решение:
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 30.

РОМБ
Задание:
Решение:
Найдите площадь ромба, если его высота равна 30, а острый
угол 30°.
Ответ: 1800.

РОМБ
Задание:
Решение:
Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей в 4 раза
больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Ответ: 3.

РОМБ
Задание:
Решение:
Диагонали ромба относятся как 2 : 9. Периметр ромба равен 170. Найдите высоту ромба.
Ответ: 18.

ТРАПЕЦИЯ
Задание:
Решение:
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 30. Боковые стороны равны 20. Найдите синус острого угла трапеции.
Ответ: 0,8.

ТРАПЕЦИЯ
Задание:
Решение:
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны.
Высота трапеции равна 49. Найдите ее среднюю линию.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то
высота EF равна полусумме длин оснований:
FO = DF, OE = AE
FE = FO + OE = DF + AE
FE = ½ AB + ½ CD
FE = ½ (AB + CD) – формула для вычисления средней линии
трапеции
Ответ: 49.

ТРАПЕЦИЯ
Задание:
Решение:
Основания трапеции равны 7 и 18. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
18
7
D
C
A
B
Е
F
M
N
Ответ: 5,5.

ТРАПЕЦИЯ
Задание:
Решение:
Основания равнобедренной трапеции равны 69 и 39, один из
углов равен 45°. Найдите высоту трапеции.
Ответ: 15.

ТРАПЕЦИЯ
Задание:
Решение:
Основания прямоугольной трапеции равны 9 и 13. Ее площадь
равна 44. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте
в градусах.
Ответ: 45.

ТЕСТ (проверь свои знания по теме…)
1) 5 2) 14 3) 6
1) 75 2) 49 3) 102
1) 10 2) 9 3) 28
1) 12,5 2) 12 3) 55
1
2
3
4
Площадь параллелограмма равна 140, две его стороны равны 10 и 35. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 270, а отношение соседних сторон равно 2 : 15.
Периметр прямоугольника равен 26, а диагональ равна 12. Найдите площадь этого прямоугольника.

1) 49,5 2) 40,8 3) 45
1) 12 2) 15 3) 19
1) 40 2) 20 3) 10
1) 25 2) 70 3) 60
5
6
7
8
Найдите высоту ромба, сторона которого равна ,
а острый угол равен 60°.
Сторона ромба равна 38, острый угол равен 30°.
Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 28.
Косинус острого угла трапеции равен 0,2. Найдите
боковую сторону.
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания
которой равны 2 и 12, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Проверь себя: