Полулогарифмические модели

2
Дифференциал Y по X упрощается до β2Y.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3
Следовательно, пропорциональное изменение Y на единицу изменения в X равно b2. Поэтому он не зависит от значения X.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

4
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

5
Предположим, что X увеличивается на величину ΔX и, как следствие, Y увеличивается на величину ΔY.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

6
Мы можем переписать правую часть уравнения, как показано.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

7
Мы можем упростить правую часть уравнения, как показано.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

8
Теперь разложим показательную функцию, используя стандартное выражение для е до некоторой степени.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

9
Вычитаем Y с обеих сторон.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

10
Рассмотрим теперь два случая: где β2 и ΔX настолько малы, что (β2 ΔX)2 пренебрежимо мало, и альтернативно.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
negligible

11
Если (β2 ΔX)2 пренебрежимо мало, мы получаем ту же интерпретацию β2 что и следовало ожидать.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
negligible

12
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Если (β2 ΔX)2 не является пренебрежимо малым, пропорциональное изменение в Y при изменении ΔX в X имеет дополнительный член (Предположим, что β2 и ΔX достаточно малы, что с более высокими степенями ΔX можно пренебречь.)
not negligible

13
Обычно мы говорим о влиянии изменения одной части переменной X. Если ΔX = 1, пропорциональное изменение происходит в Y , как показано. Теперь значение β2 становится настолько малым, что вторым и последующим значениями можно пренебречь.
if ΔX is one unit
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
not negligible

14
β1 является значением Y когда X равно нулю (заметим, что e0 равно 1).
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

15
Чтобы соответствовать функции этого типа, вы берете логарифмы с обеих сторон. Правая часть уравнения становится линейной функцией от X (заметим, что логарифм e на основание e равен 1). Следовательно, мы можем поместить модель с линейной регрессией log Y на X.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Ниже приведен регрессионный результат регрессии уравнения заработной платы с использованием набора данных 21(Data Set 21). Оценка равна 0,066. В качестве оценки это означает, что дополнительный год обучения увеличивается почасовой заработок на долю 0,066.
16
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------
β2

В повседневном языке более естественно говорить о процентах, а не о пропорциях, поэтому мы умножаем коэффициент на 100. Это означает, что дополнительный год обучения увеличивает почасовые доходы на 6,6%.
17
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------

Если учесть тот факт, что год обучения является значительным изменением и точно работает, пропорциональное увеличение составляет 0,068, а процентное увеличение -на 6,8%.
18
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------
Если ΔX=1, то
not negligible

19
В общем случае, если единичное изменение в X действительно значимо, оценка β2 будет мала, и ее можно интерпретировать непосредственно как оценку пропорционального изменения Y на единичное изменение в X.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------
Если ΔX=1, то
not negligible

20
Однако, если изменение единицы в X не мало, коэффициент может быть большим, а второй член может быть незначительным. В данном случае год обучения не является значительным, но ясно, что уточнение делает лишь небольшую разницу.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------
Если ΔX=1, то
not negligible

21
В общем случае, когда β2 меньше 0.1, there is little to be gained by working out the effect exactly.
В общем случае, когда b2 меньше 0,1, мало что можно получить, разработав эффект точно.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------
If ΔX is one unit,
not negligible

Константа в регрессии представляет собой возможное значение log β1. Из него получаем возможное значение β1 равную e1.836, что равно 6.27.
22
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
Source | SS df MS Number of obs = 540
-------------+------------------------------ F( 1, 538) = 140.05
Model | 38.5643833 1 38.5643833 Prob > F = 0.0000
Residual | 148.14326 538 .275359219 R-squared = 0.2065
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2051
Total | 186.707643 539 .34639637 Root MSE = .52475
------------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
S | .1096934 .0092691 11.83 0.000 .0914853 .1279014
_cons | 1.292241 .1287252 10.04 0.000 1.039376 1.545107
------------------------------------------------------------------------------
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------

23
В буквальном смысле это означает, что человек без образования зарабатывает 6,27 долл. США в час. Тем не менее это опасно экстраполировать так далеко от диапазона, для которого у нас есть данные.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. reg LGEARN S
Source | SS df MS Number of obs = 540
-------------+------------------------------ F( 1, 538) = 140.05
Model | 38.5643833 1 38.5643833 Prob > F = 0.0000
Residual | 148.14326 538 .275359219 R-squared = 0.2065
-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2051
Total | 186.707643 539 .34639637 Root MSE = .52475
------------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
S | .1096934 .0092691 11.83 0.000 .0914853 .1279014
_cons | 1.292241 .1287252 10.04 0.000 1.039376 1.545107
------------------------------------------------------------------------------
. reg LGEARN S
----------------------------------------------------------------------------
Source | SS df MS Number of obs = 500
-----------+------------------------------ F( 1, 498) = 60.71
Model | 16.5822819 1 16.5822819 Prob > F = 0.0000
Residual | 136.016938 498 .273126381 R-squared = 0.1087
-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1069
Total | 152.59922 499 .30581006 Root MSE = .52261
----------------------------------------------------------------------------
LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-----------+----------------------------------------------------------------
S | .0664621 .0085297 7.79 0.000 .0497034 .0832207
_cons | 1.83624 .1289384 14.24 0.000 1.58291 2.089571
----------------------------------------------------------------------------

Диаграмма рассеивания с полулогарифмической регрессией.
24
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Полулогарифмическая линия регрессии, построенная на диаграмме рассеивания с нетрансформированными данными, с приведенной для сравнения линейной регрессией.
25
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

26
Нет большой разницы в подходе регрессионных линий, но полулогарифмическая регрессия более удовлетворительна в двух отношениях.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

27
Линейная спецификация предсказывает, что ежечасная заработная плата будет увеличиваться на фиксированную сумму, 1,27 доллара США, с каждым дополнительным годом обучения. Это неправдоподобно для высокого уровня образования. Полулогарифмическая спецификация позволяет увеличить прирост с уровнем образования.
ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ