Слайд 2 МОУ лицей №1 г. Комсомольск –на - Амуре
Учитель математики:
![МОУ лицей №1 г. Комсомольск –на - Амуре Учитель математики: О.С. Чупрова 2007 г.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-1.jpg)
О.С. Чупрова
2007 г.
Слайд 31.Уравнения, решаемые по определению
logab=c,
ac =b, a>0, a≠1, b>0
![1.Уравнения, решаемые по определению logab=c, ac =b, a>0, a≠1, b>0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-2.jpg)
Слайд 4Пример:
log3(2-x)=2 ОДЗ: 2-x>0
2-x=32 x<2
2-x=9
-x=6
x=-6
Ответ: x=-6
![Пример: log3(2-x)=2 ОДЗ: 2-x>0 2-x=32 x 2-x=9 -x=6 x=-6 Ответ: x=-6](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-3.jpg)
Слайд 52.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств
loga(bc) =loga│b│+loga│c│
loga(b/c)=loga│b│- loga│c│
logabp=ploga│b│
![2.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств loga(bc) =loga│b│+loga│c│ loga(b/c)=loga│b│- loga│c│ logabp=ploga│b│](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-4.jpg)
Слайд 6Пример:
log2(x+1)+log2(x+2)=1 ОДЗ: x+1>0 x>-1
log2(x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2
(x+1)(x+2)=21 х>-1
x2+3x=0
x(x+3)=0
x1=0 x2=-3(не уд. ОДЗ)
Ответ: x=0
![Пример: log2(x+1)+log2(x+2)=1 ОДЗ: x+1>0 x>-1 log2(x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2 (x+1)(x+2)=21 х>-1 x2+3x=0 x(x+3)=0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-5.jpg)
Слайд 73.Метод потенцирования
f(x)>0
logaf(x)=logag(x) g(x)>0
f(x)=g(x)
![3.Метод потенцирования f(x)>0 logaf(x)=logag(x) g(x)>0 f(x)=g(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-6.jpg)
Слайд 8Пример:
lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x-4>0 x>4 x>6
lg(x-4)(x-6)=lg8 x-6>0 x>6
(x-4)(x-6)=8
x2-10x+16=0
x1=8
x2=2 (не уд. ОДЗ)
Ответ: x=8
![Пример: lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x-4>0 x>4 x>6 lg(x-4)(x-6)=lg8 x-6>0 x>6 (x-4)(x-6)=8 x2-10x+16=0 x1=8](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-7.jpg)
Слайд 94.Метод подстановки
а)Уравнения, сводящиеся к квадратным
Пример1:
lg2x-3lgx+2=0 ОДЗ: x>0
пусть lgx=t, tєR
t2-3t+2=0
t1=1
![4.Метод подстановки а)Уравнения, сводящиеся к квадратным Пример1: lg2x-3lgx+2=0 ОДЗ: x>0 пусть lgx=t,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-8.jpg)
t2=2
если t1=1, то если t2=2, то
lgx=1 lgx=2
x=10 x=100
Ответ: x1=10, x2=100
Слайд 10Пример2:
lg2(10x)=5-lgx ОДЗ: x>0
(lg10+lgx)2=5-lgx
1+2lgx+lg2x-5+lgx=0
lg2x+3lgx-4=0
пусть lgx=t
t2+3t-4=0
t1=1; t2= - 4
если t1=1, то если t2= -
![Пример2: lg2(10x)=5-lgx ОДЗ: x>0 (lg10+lgx)2=5-lgx 1+2lgx+lg2x-5+lgx=0 lg2x+3lgx-4=0 пусть lgx=t t2+3t-4=0 t1=1; t2=](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-9.jpg)
4,то
lgx=1 lgx=-4
x=10 x=0,0001
Ответ: x1=10, x2=0,0001
Слайд 11б)Использование формулы
logab=1/logba
![б)Использование формулы logab=1/logba](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-10.jpg)
Слайд 12Пример:
logx(9x2)log23x=4 ОДЗ: x>0
(logx9+logxx2)log23x=4 x≠1
(2logx3+2)log23x=4
(2/log3x+2)log23x=4
пусть log3x=t (2/t+2)t2=4
2t2+2t-4=0
t1=1; t2=-2
если t1=1, то
![Пример: logx(9x2)log23x=4 ОДЗ: x>0 (logx9+logxx2)log23x=4 x≠1 (2logx3+2)log23x=4 (2/log3x+2)log23x=4 пусть log3x=t (2/t+2)t2=4 2t2+2t-4=0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-11.jpg)
если t2=-2, то
log3x=1; x1=3; log3x=-2. x2=1/9.
Ответ: x1=3, x2=1/9
Слайд 135.Метод приведения к одному основанию
logab=logсb/logca
a>0,b>0, c>0 a≠1, c ≠1
![5.Метод приведения к одному основанию logab=logсb/logca a>0,b>0, c>0 a≠1, c ≠1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-12.jpg)
Слайд 14Пример:
log2x+log4x+log8x=11 ОДЗ:x>0
log2x+log22x+log23x=11
log2x+1/2log2x+1/3log2x=11
11/6log2x=11
log2x=6
x=26
x=64
Ответ: x=64
![Пример: log2x+log4x+log8x=11 ОДЗ:x>0 log2x+log22x+log23x=11 log2x+1/2log2x+1/3log2x=11 11/6log2x=11 log2x=6 x=26 x=64 Ответ: x=64](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-13.jpg)
Слайд 156.Метод логарифмирования
logabр=рlogab
b>0; a>0; a≠1
![6.Метод логарифмирования logabр=рlogab b>0; a>0; a≠1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-14.jpg)
Слайд 16Пример:
x (lgx+5)/3 =105+lgx ОДЗ:x>0
прологарифмируем уравнение по основанию 10
lgx(lgx+5)/3=lg105+lgx
((lgx+5)/3)lgx=(5+lgx)lg10
1/3(lgx+5)lgx=5+lgx|*3
(lgx+5)lgx=15+3lgx
lg2x+5lgx=15+3lgx
lg2x+2lgx-15=0
пусть lgx=t
t2+2t-15=0
t1=-5; t2=3
если t1=-5, то
![Пример: x (lgx+5)/3 =105+lgx ОДЗ:x>0 прологарифмируем уравнение по основанию 10 lgx(lgx+5)/3=lg105+lgx ((lgx+5)/3)lgx=(5+lgx)lg10](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-15.jpg)
lgx=-5 если t2=3, то lgx=3
x1=0,00001 x2=1000
Ответ: x1=0,00001, x2=1000
Слайд 177.Использование специальной формулы
a logсb = b logсa
b>0;b≠1 a>0; a≠1;
с>0; с≠1
![7.Использование специальной формулы a logсb = b logсa b>0;b≠1 a>0; a≠1; с>0; с≠1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-16.jpg)
Слайд 18Пример:
3xlog52+2log5x=64 ОДЗ: x>0
3*2log5x+2log5x=64
4*2log5x=64 |:4
2log5x=16
2log5x=24
log5x=4
x=54
x=625
Ответ: x=625
![Пример: 3xlog52+2log5x=64 ОДЗ: x>0 3*2log5x+2log5x=64 4*2log5x=64 |:4 2log5x=16 2log5x=24 log5x=4 x=54 x=625 Ответ: x=625](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-17.jpg)
Слайд 198.Использование свойств монотонности функции
Пример:
log3(x+1)+log4(5x+6)=3 ОДЗ: x> -1,2
y= log3(x+1) - возрастающая функция
y= log4(5x+6)-
![8.Использование свойств монотонности функции Пример: log3(x+1)+log4(5x+6)=3 ОДЗ: x> -1,2 y= log3(x+1) -](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-18.jpg)
возрастающая функция
3 - const
Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.
Используем утверждение: если возр. функция
равна const или убыв. функции, тогда
уравнение имеет один корень, который находится с
помощью метода подбора.
Ответ: x=2
Слайд 209.Использование свойств ограниченности функции
Пример:
log2(17-|sin0,5πx|)=√2x+15-x2
1)рассмотрим левую часть
т.к. 0≤ |sin0,5πx| ≥ 1 ,то
log2(17-|sin0,5πx|) ≥log2(17-1)=log216=4
![9.Использование свойств ограниченности функции Пример: log2(17-|sin0,5πx|)=√2x+15-x2 1)рассмотрим левую часть т.к. 0≤ |sin0,5πx|](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-19.jpg)
т.е.
0≤ |sin0,5πx| ≥ 4
при x=1 - достигается равенство
2)рассмотрим правую часть
√2x+15-x2= √16-(x+1) ≤ √16=4=16-(x-1)2
√2x+15-x2≤4
при x=1 – достигается равенство
Ответ: x=1
Слайд 21 10.Однородные уравнения II степени
ax2+bxy+cy2=0|:y2≠0
a(x/y)2+b(x/y)+c=0
at2+bt+c=0
![10.Однородные уравнения II степени ax2+bxy+cy2=0|:y2≠0 a(x/y)2+b(x/y)+c=0 at2+bt+c=0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-20.jpg)
Слайд 22Пример:
3log22(x+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0
Делим на log22(2x+1) ОДЗ: x>1/2
3(log2(x+1)/log2(2x+1))2-4log2(2x+1)log2(x+1)/log22(2x+1)+1=0
t
3t2-4t+1=0
t1=1 t2=1/3
если t1=1 то, если
![Пример: 3log22(x+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0 Делим на log22(2x+1) ОДЗ: x>1/2 3(log2(x+1)/log2(2x+1))2-4log2(2x+1)log2(x+1)/log22(2x+1)+1=0 t 3t2-4t+1=0 t1=1 t2=1/3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-21.jpg)
t2=1/3 то,
log2(x+1)/log2(2x+1)=1 log2(x+1)/log2(2x+1)=1/3
log2(x+1)=log2(2x+1) 3log2(x+1)=log2(2x+1)
x+1=2x+1 log2(x+1)3=2x+1
x=0 x(x2+3x+1)=0
x1=0 x2=(-3+√5)/2 x3=(-3-√5)/2
Ответ: x1=0, x2= =(-3+√5)/2 не уд.
Слайд 2311.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени
Пример:
x√x=√xx ОДЗ: x>0,
logx x√x =logx
![11.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени Пример: x√x=√xx ОДЗ: x>0,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-22.jpg)
√xx x≠ 1
logx xx0,5 =logx (x0,5)x
√xlogx x=0,5logxx
√x=0,5x
√x(1-0,5√x)=0
√x=0 (не уд.ОДЗ) (1-0,5√x)=0
√x=2
x=4
Ответ: x=4
Слайд 2412.Функционально - графический метод
(х – 1) = log2x
Строим графики функций у =
![12.Функционально - графический метод (х – 1) = log2x Строим графики функций](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-23.jpg)
(х – 1) и
у = log2x.
Ответ: х = 1, х=2.
1
1
2
х
у
0
Слайд 25Решить самостоятельно
lq(х²-2х)=lg30-1;
lg(x²+2x-3)=lg(6X-2);
log3X*lоg2х =4 log32;
log3X+log9X+log27X=1/12;
log5(X-l0)-log5(X+2)=-1;
3+ 2logX+13=2log3(X+1).
![Решить самостоятельно lq(х²-2х)=lg30-1; lg(x²+2x-3)=lg(6X-2); log3X*lоg2х =4 log32; log3X+log9X+log27X=1/12; log5(X-l0)-log5(X+2)=-1; 3+ 2logX+13=2log3(X+1).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/285599/slide-24.jpg)