Построение графиков функций

План построения графика функции с помощью производной
Найти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют
Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность
Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно
Найти стационарные и критические точки
Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности
Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции
Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции
Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно находить с помощью производной.
Теорема. (признак вогнутости и выпуклости)
Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм:
Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х)
Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0
Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции
Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если
f ΄΄(х)>0 - вогнута

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части.
Точкой перегиба кривой графика функции будут те точки, в которых
f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак.
0
х0

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции
Решение.
Найдем у΄(х) и у΄΄(х):
у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1)
Найдём стационарные точки второго порядка,
т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1
х = ±1
Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1
1
-1
у΄΄(х)
+
+
-

Например: исследовать функцию
у = 2х³+3х² -1 и построить её график
Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не определена
Найдем стационарные точки:
т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0
тогда х=0 и х=-1 стационарные точки
Найдем точки экстремума:
т.к.
и х=-1 – точка максимума
х= 0 – точка минимума
х
0
-1
f´(x)
+
+
-
f(x)

Найдем промежутки монотонности:
при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает
при x ϵ [-1; 0] - функция убывает
Найдем точки пересечения графика с осями координат:
если х=0, то у=-1 => (0;-1)
если у=0, то х= -1 => (-1; 0)

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные):
т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0) -точка локального максимума
т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1
=> (0;-1) -точка локального минимума
если х=1, то у=4 => (1;4)
если х=-2, то у=-5 => (-2;-5)
Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы.

Составим таблицу:
Найдем f ΄΄(х).
f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1)
f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5 - точка перегиба
т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0,
а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0
Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно

Построим график
функции:
х
у
0
-1
-2
4
1
-5

Исследовать функцию и построить её график
1) у = 3х² - х³
2) у = - 9х + х³
3) у = х³ - 3х² + 2
4) у = - х³ + 6х² - 5
5) у = 3х³ + х² - 8х – 7
6) у = (х)/(1+х²)

Работа
с графиками
функций

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы
1) Отметьте стационарные точки.
2) Что можно сказать о производной в точке х2?
3) Назовите точки экстремума.
4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2]?
5) Укажите промежутки возрастания функции.
6) Отметьте критические точки

Проверим ответы
1. х1,х3,х4
2. не существует
3. х2,х3,х4
4. f′(х) ≤ 0
5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция возрастает
6. х2

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям:
а) а=-1, в=4, f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3
б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2
График.
а)
-1
1
1
3
4

б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2
График.
0
-2
3
5
2
1

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

№ 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Верно или не верно ?
№1
1. График производной. Точки х= -1, х=1, х=2 являются точками максимума.
2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка.
3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка.

4. Критическая точка является точкой экстремума.
5. Точка экстремума является критической точкой.
6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума.

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание
0
х
у
Х1
Х2
Х3
Х4

Точка х1 – точка минимума.
Точка х1 – точка перегиба.
В точках х2 и х4 касательная параллельна оси абсцисс
В точке х3 производной не существует.
Точка х4 – точка экстремума
Точка х4 – точка минимума
Точка х4 – стационарная точка
Точка х3 – точка экстремума
Точка х2 – точка максимума
Да
Да
Да
Да
Да
Да
Да
Нет
Нет