Предельные теоремы

Теорема Пуассона
Биномиальная случайная величина с параметрами N и p.
Пусть число N неограниченно возрастает, при этом вероятность p = a / N , где a – const.
Подставим p = a / N в (6.1)
(6.1)

Предельный переход при N → ∞
Вынесем общий множитель, не содержащий N

a = N p
Параметр распределения Пуассона равен произведению параметров распределения Бернулли:
Вывод: при большом значении параметра N и малом значении параметра p распределение Бернулли совпадает с распределением Пуассона

a = Np = 2

a = Np = 20

a = Np = 2

Хорошее совпадение распределения Бернулли с распределением Пуассона наблюдается при значении параметра N > 100 , и параметра распределения Пуассона a не сильно отличающегося от единицы.

Теорема Муавра – Лапласа
Биномиальная случайная величина с параметрами N и p.
Вероятность того, что значение этой случайной величины k находится в интервале [k1, k2]
Рассмотрим предельный переход при N → ∞

где: μ = Np, σ2 = Np(1– p)
Согласно теореме Муавра – Лапласа, справедлив следующий предельный переход:

Это означает, что при очень больших значениях параметра N и при большом значении произведения параметров Np распределение Бернулли может заменятся нормальным (гауссовым) распределением.
Сумма вероятностей биномиальной случайной величины заменяется интегралом от плотности вероятности нормальной случайной величины.
Параметр μ (математическое ожидание) равен произведению Np
Параметр σ2 (дисперсия) равен Np(1– p)

N = 100 ; p = 0,4.
Вертикальные черточки – вероятности для биномиального распределения.
Кружки – значения плотности нормальной случайной величины.
μ = Np = 40; σ2 = Np(1 – p) = 24

Как вычислить определенный интеграл в правой части теоремы Муавра-Лапласа?
Замена переменной: z = (x – μ) / σ

Функция Лапласа
Интеграл с переменным верхним пределом от нормированной функции Гаусса
Это плотность гауссовой случайной величины с параметрами μ = 0 и σ = 1

Свойства функции Лапласа
Φ(x=0) = 0
2. Φ(−x) = − Φ(x).
3. Функция Лапласа быстро стремится к 0,5.
Φ(x = 3) = 0,49865; Φ(x = 5) = 0,49999997.

График функции Лапласа

k - значение биномиальной случайной величины с параметрами N и p.
где Ф – функция Лапласа, x1 и x2 – её аргументы:

Центральная предельная теорема

i ; (i = 1, …, N ) – случайные величины
Если N → ∞, то при весьма общих условиях случайная величина ζN имеет нормальное (гауссово) распределение вероятностей.

Теорема 1
i ; (i = 1, …, N ) – попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые распределения.
Математические ожидания M(ξi) = a
Дисперсии D(ξi) = d
Случайная величина
при N→∞ приобретает нормальное распределение с плотностью вероятности

Теорема 2 (теорема Ляпунова)
i ; (i = 1, …, N ) – независимые случайные величины.
Математические ожидания M(ξi) = ai
Дисперсии D(ξi) = bi2
Конечные третьи моменты M⎪ξi – ai⎪3 = ci
Обозначения:

Если
то при N→∞
где:

Нормированная сумма любых независимых случайных величин при N→∞ имеет нормальное распределение.
На следующих слайдах показаны графики распределений нормированных сумма равномерно распределенных непрерывных случайных величин при различном количестве слагаемых N.
Видно, что с ростом N распределение приближается к нормальному распределению.

N = 100

N = 1000

N = 10000