Преобразование координатного базиса

9.2.2. Поворот осей координат
O
y
x
y’
x’
M
φ
φ
i
j
i’
j’
Радиус-вектор точки не меняется:
r = xi + yj
но координаты различны:
r
r’ = x’i’ + y’j’
xi + yj = x’i’ + y’j’
xii + yji = x’i’i + y’j’i
∙i:
∙j:
xij + yjj = x’i’j + y’j’j
x = x’cosφ + y’cos(900+φ)
y = x’cos(900-φ) + y’cosφ
x = x’cosφ +
+ y’(cos900 cosφ - sin900 sinφ)
y = x’(cos900 cosφ + sin900 sinφ)
+ y’cosφ
x = x’cosφ - y’sinφ
y = x’sinφ + y’cosφ

Получаем систему уравнений:
или, в матричном виде:
или, ещё короче:
где Tφ - матрица поворота
Свойства матрицы поворота:
1. det(Tφ) = 1 при любом φ.
3. Tα∙Tβ = Tβ∙Tα
4. Tα+β = Tα∙Tβ

9.2.3. Параллельный перенос осей координат
O’
y’
x’
M
r’
r”
r0
O”
x”
y”
y0
x0
O’x’y’ → O”x”y”?
Пусть:
- радиус-вектор точки М
в исходной системе коор-т
- радиус-вектор точки М
в новой системе коор-т
- радиус-вектор начала новой
системы координат в старой
или
или

9.3 Квадратичная форма
9.3.1. Понятие квадратичной формы
Форма - однородный многочлен, все члены которого имеют
одинаковую степень.
Квадратичная форма - однородный многочлен второй степени:
F(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.
Матрица квадратичной формы:
Пусть
Тогда:

9.3.2. Геометрический смысл квадратичной формы
Пример:
Пусть x, y - координаты точки на плоскости. Тогда
F(x, y) = c или
a11x2 + a12xy + a22y2 = c или
a11x2 + a12xy + a22y2 + c’ = 0 - уравнение кривой 2-го порядка.

9.3.3. Собственный вектор и собственное число
Пусть
A∙r = R - некоторый вектор. Пусть существует такой вектор r, что R = λr, т.е. A∙r = λr. Такой r называется собственным.
Для собственного вектора: A∙r || r.
Очевидно, если A∙r = λr, то A∙(αr) = λ(αr), где α - число ≠ 0.
Т.е. вектор (αr) будет также собственным. Т.е. собственный вектор задаётся с точностью до константы и определяет некоторое направление.

9.3.4. Геометрический смысл собственного вектора
Пусть F(x, y) = a11x2 + a12xy + a22y2 – квадратичная форма.
Тогда a11x2 + a12xy + a22y2 = c – уравнение кривой 2-го порядка.
Полный дифференциал:
=> 2(a11x + a12y)dx + 2(a12x + a22y)dy
или dr·A·r = 0
Обозначим A·r = n
n
dr
dr
n
x
y
n || r на осях симметрии => в этих точках n = λr или A·r = λr

9.3.5. Вычисление собственных векторов и собственных чисел
Итак, пусть A·r = λr => A·r – λr = 0 или
Система имеет ненулевое решение, если
или, в матричном виде:
- характеристическое уравнение на нахождение λ.
Полученные λi подставляем в исходную систему и находим
собственные вектора ri. Проверяем результат: r1∙r2 = 0.

Пример:
Найти: Собственные числа и собственные векторы для
квадратичной формы F(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2.
Составляем матрицу и
характеристическое уравнение:
Решаем харак-ое уравнение:
Составляем систему для
нахождения собственных векторов:
Выбираем y1 = 1,
находим x1 = 2
Выбираем x2 = 1,
находим y2 = -2
Проверяем:
r1∙r2 =
= 2∙1+1∙(-2) =
= 0

9.3.6. Теоремы о собственных векторах
Теорема 1. Для симметричной матрицы существуют
собственные числа и собственные векторы.
Теорема 2. Собственные векторы симметричной матрицы,
соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
Замечание. Для матрицы второго порядка достаточно найти один
собственный вектор. Второй можно найти из условия: r1∙r2 = 0.
Пусть
Тогда

9.3.7. Матрица поворота
Главное направление квадратичной формы - это направление
осей симметрии соответствующей кривой 2-го порядка.
Пусть λ1 ≠ λ2. Им соответствуют векторы:
Нормируем их:
O
y
x
y’
x’
φ
φ
e1
e2
e1x
e1y
(e1|e2) образуют матрицу поворота
к главным направлениям кв.формы:

9.3.8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Дана квадратичная форма F(x, y) = a11x2 + a12xy + a22y2 .
Нужно привести её к каноническому виду: F(x, y) = λ1x2 + λ2y2.
Матрица квадратичной формы:
Теорема 1. Каждая квадратичная форма имеет единственный
канонический вид.
Теорема 2. При повороте координатных осей до главных
направлений квадратичная форма принимает канонический вид
с коэффициентами, равными собственным числам.