Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы и построение графиков

I. Монотонность функции
(Возрастание и убывание функций)

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f '(х)>0, то функция у= f(х) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f '(х)<0 то функция у= f(х) убывает на промежутке Х.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство f '(х) = 0, то
функция у= f(х) постоянна на промежутке Х.
Определение. Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

II.Экстремумы функции.

Определение 1. Точку х=х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х0) выполняется неравенство
f(х)>f(х0).
Определение 2. Точку х=х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х0) выполняется неравенство
f(х)

Значение максимума и минимума обозначаются:
уmax , ymin соответственно.
Определение 3. Точки минимума и максимточками экстремума ума функции называют –функции (от латинского слова extremum – «крайний»)

Теорема 1. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х=х0, то в этой точке производная либо равна нулю (f '(х) = 0), либо не существует.
Определение 4. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0, тогда:
1) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0, выполняется неравенство f '(x)<0, а при х>х0 – неравенство f '(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);
2) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f '(x) >0, а при х>х0 – неравенство f '(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);
3) Если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума
нет.