Признаки и свойства папаллельных и перпендикулярных плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикуляр-ными), если угол между ними равен 90°.
Обозначается a ┴ b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Перпендикулярные прямые в пространстве
Теорема.
Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной
к плоскости, если она перпендикулярна
к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая a, перпендикулярная
плоскости α (a⊥α), означает,
что a ⊥b, a ⊥c, где b ⊂ α, c ⊂ α.

Свойства :
1. Если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых,
то она перпендикулярна другой
прямой. (a ⊥ α b и a II b => b ⊥ α)
2 Если две прямые перпендикулярны
одной и той же плоскости,
то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α => a II b)
3 Если прямая перпендикулярна
одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна
и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α => a ⊥ β)

Свойства :
4 Если две различные плоскости
перпендикулярны одной и той же прямой,
то эти плоскости параллельны.
(a ⊥ α и a ⊥ β => a II β)
5 Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только одну.
6 Через любую точку прямой можно
провести плоскость, перпендикулярную ей
и притом только одну.

Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, - отрезок, лежащий на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости, соединяющий данную точку с точкой плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием перпендикуляра.
Наклонная, проведенная из данной точки к плоскости, - любой отрезок, соединяющей данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Перпендикуляр и наклонная
Конец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Свойства:
1 Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из одной точки AO
2. Из данной точки, не лежащей на плоскости, можно провести только один перпендикуляр к плоскости и бесконечное множество наклонных.

Перпендикуляр и наклонная.
3. Если из одной точки к одной
плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, то:
- равные наклонные имеют равные проекции (если AB=AC, то BO=CO);
Если проекции наклонных равны, то сами наклонные равны (если BO= CO, то AB=AC);
Большая наклонная имеет большую проекцию (если AB>AC, то BO>CO);
Из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (если BO>CO, то AB>AC).

Перпендикуляр и наклонная.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
AO – расстояние от точки A до плоскости α.

Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна наклонной (если a ⊥ BO, то a ⊥ AB).
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
проекции наклонной
(если a ⊥ AB, то ⊥ BO).

Теорема о трех перпендикулярах
Доказательство:
1)АВ- перпендикуляр,
2) Проводим СА´║АВ.
( по свойству перпендикулярных прямой и плоскости)
3) АВ и А´С определяют
4)
(признак перпендикулярности прямой и плоскости)
5)
Если
то
следовательно
6)Аналогично, если
и
следовательно
АС- наклонная,

Задача
Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны
Через центр вписанной в треугольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение:
1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,
то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне
О- центр окружности,
S- точка на перпендикуляре
2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,
3)По теореме Пифагора:
где r-радиус вписанной окружности
4)
5)
А
О
С
В
S

Перпендикулярность двух плоскостей
Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых выполняется условие, что третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения, пересекает их по перпендикуляр-ным прямым.
Плоскости α и β перпендику-лярны (α ⊥β), если плоскость Υ ⊥ c, Υ пересека-ет α и β по взаимноперпен-дикулярным прямым a и b,
(a ⊥ b).

Признак перпендикулярности плоскостей
Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
(если a ⊂ α, a ⊥ β, то α ⊥ β).

Свойства перпендикулярных плоскостей
1.Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
(если α∩β=c, α ⊥β, α∩Υ=a, γ∩β=b и γ ⊥ c, то a ⊥b)
2. Если прямая лежащая в одной из
двух перпендикулярных плоскостей,
перпендикулярна прямой их пересече-ния, то она перпендикулярна и другой плоскости.
(если α ⊥β, α ∩β=b, a€α и a ⊥b,
то a ⊥ β)

3. Через любую точку прост-ранства можно провести
плоскость, перпендикулярную данной плоскости
4 Две плоскости, перпендику-лярные третьей плоскости, или параллельны, или пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости.
Свойства перпендикулярных плоскостей

5. Три попарно перпендику-лярные плоскости пересе-каются по трем перпенди-кулярным прямым (eсли α ⊥β, β ⊥ y, y ⊥ α, То a ⊥ b, b ⊥ c, a ⊥ c)
Свойства перпендикулярных плоскостей
6 .Через данную прямую некоторой плоскости можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

Двугранный угол – фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости называются гранями, а прямая, их ограничиваю-щая, - ребром двугранного угла.
Двугранные углы.
α и β – грани двугранного угла
a – ребро двугранного угла

Двугранные углы.
Линейный угол двугранного угла – угол, являющийся разрезом этого двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру (угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало).
Мера двугранного угла – мера соответствующего ему линейного угла.
Мера двугранного угла находится в переделах от 0 до 180 градусов.

Расстоянием между
скрещивающимися прямыми
называется длина их
общего перпендикуляра
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Утверждение: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.