Решение практических задач с применением вероятностных методов

ПОВТОРЕНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ
Вероятность-это численная характеристика, которая показывает , насколько велика степень объективной возможности события.
P (A) =m/n
Вероятность события А есть число W(A), равное отношению числа m элементарных исходов.

Задача 1.Изготовили 100 деталей,
из которых 97 стандартных
и 3 бракованных.
Какова вероятность выбора стандартной детали и выбора бракованной детали?

Решение.
Если взять 1 деталь, то событие А – деталь стандартная и событие В – деталь бракованная, не равновозможные.
Событие А более возможно, более вероятно,
чем событие В.
Р(А) = 97 , Р(В) = 3
100 100
Ответ: 0,97 ; 0,03.

Задача 2.Набирая номер телефона,
абонент забыл две цифры
и набрал их наудачу. Определить вероятность того,
что найдены нужные цифры.

Решение.
Пусть С – событие, состоящее в том, что набраны
две нужные цифры.
Всех равновозможных, единственно возможных
и несовместимых случаев набора двух цифр из 10 столько,
сколько можно составить
различных размещений из 10 цифр по 2, т.е.
2
А10 = 10·9 = 90
Благоприятствует событию С только один случай из этих 90.
Таким образом, искомая вероятность Р(С) = 1
90
Ответ: Р(С) = 1
90 .

Событие А – такое расположение карточек с названными буквами, при котором составлено было бы
(в порядке их выхода) слово Каховка,
всего равновозможных исходов испытания будет столько, сколько можно сделать перестановок из 7 элементов
n = Р7 = 7! = 5040.
Среди них благоприятными будут те, которые
образуют слово Каховка.
Число их установим так: если бы в этом слове не было повторяющихся букв, то благоприятный исход был бы один. Однако в слове буквы а и к встречаются дважды,
и если их поменяем местами, то снова получим это же слово.
Следовательно, благоприятных исходов окажется не один,
а четыре (m = 4).
Таким образом, вероятность Р(А) = 4 = 1 . 5040 1260
Ответ: Р(А) = 1 .
1260

Задача 3.Набирая номер телефона,
абонент забыл одну цифру
и набрал ее наудачу. Найти вероятность того,
что набрана нужная цифра.

Пусть В – событие, состоящее в том,
что набрана нужная цифра.
Диск телефонного аппарата содержит 10 цифр, следовательно, общее число возможных случаев
n = 10.
Эти случаи несовместимы, единственно возможны и равновозможны.
Событию В благоприятствует только один случай. Следовательно, искомая вероятность
Р(В) = 1 = 0,1.
10
Ответ: 0,1.

Задача 4.В ящик, имеющий два отделения, брошено два шарика.
Какова вероятность того,
что в каждом отделении будет находиться один шарик?

Можно выделить всего 4 равновозможных,
единственно возможных и несовместимых случая:
1) оба шарика попали в первое отделение;
2) оба шарика попали во второе отделение;
3) первый попал в первое отделение,
второй – во второе;
4) первый попал во второе отделение,
второй – в первое.
Из рассмотренных случаев два благоприятствуют попаданию шаров в различные отделения.
Искомая вероятность Р = 2 = 0,5.
4
Ответ: 0,5.

Задача 5.Заведующий отделением вызвал
через старосту трех студентов
из группы,
состоящую из 5 не выполнивших
задания человек.
Староста забыл фамилии
вызванных студентов
и послал наудачу
трех студентов
из указанной группы.
Какова вероятность того,
что к заведующему явятся
именно вызванные
им студенты?

Число равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
выбора трех студентов будет столько,
сколько можно составить различных сочетаний из 5 элементов по 3
3
n = С5 = 5·4·3 = 10,
1·2·3
а благоприятствует условию только один (m = 1).
Искомая вероятность Р = 1 = 0,1.
10
Ответ: 0,1.

Задача 6.В библиотечке
25 книг.
Наудачу выбирается 3 книги.
Какова вероятность того,
что будут выбраны
нужные книги?

Всего равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
будет столько, сколько можно составить различных размещений из 25 элементов по 3
3
А25 = 25·24·23
а число случаев, благоприятствующих тому,
что будут выбраны нужные три книги,
столько, сколько можно составить
перестановок из 3 элементов Р3 = 3! = 1·2·3.
Искомая вероятность Р = 1·2·3 = 1
25·24·23 2300
Ответ: 1 .
2300

Задача 7.Известно, что 5%
всех мужчин
и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наудачу выбранное лицо
страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того,
что это лицо – мужчина
(считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

Пусть мужчин и женщин будет одинаковое (согласно условию) произвольное число, например, по10000.
Из 10000 мужчин, страдающих дальтонизмом, будет 10000·0,05 = 500,
а женщин 10000·0,0025 = 25.
Таким образом, из 20000 человек 525
(n = 525) страдают дальтонизмом.
Тогда вероятность того, что наудачу выбранное лицо, страдающее дальтонизмом,
мужчина, равна Р = 500 .
525
Ответ: 500 .
525

Задача 8.По цели произведено
20 выстрелов,
причем зарегистрировано
18 попаданий.
Найти относительную частоту
попаданий в цель.
Ответ:0,9.

Самостоятельная работа:

Задача 1.В денежно-вещевой лотерее
на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых
и 100 денежных выигрышей.
Определить вероятность
выигрыша
денежного или вещевого
на один лотерейный билет.