Производная по направлению. Градиент и его свойства

Скалярное поле и его геометрическое изображение
Часть пространства (или все пространство), каждой точке P которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины u, называется скалярным полем.
Примерами скалярных полей являются поле распределения температуры в данном теле, поле распределения электрического потенциала и т.д.

Во всех случаях будем предполагать, что скалярная величина u не зависит от времени, а зависит только от положения точки P в пространстве. Таким образом, u рассматривается как функция точки P, то есть

Линии уровня и поверхности уровня
Скалярное поле часто изображается геометрически с помощью так называемых поверхностей уровня или, в плоском случае, линий уровня.

Уравнение поверхности уровня. Уравнение линии уровня.

Примеры
1. Построить линии уровня для плоского скалярного поля, заданного функцией
2. Построить поверхности уровня для скалярного поля, заданного функцией

Производная по направлению
Производная по направлению обозначается символом
и вычисляется по формуле

Здесь направляющие косинусы.
Заметим, что если производная по данному направлению положительна, то функция в этом направлении возрастает, если же производная отрицательная, то функция в этом направлении убывает. Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

Пример
Найти производную функции
в точке по направлению от точки
к точке

Таким образом, вектор имеет следующие направляющие косинусы
Теперь найдем частные производные функции

и их значения в точке

Подставляя в формулу значения найденных частных производных и направляющих косинусов, получим искомую производную:

Градиент
При изучении скалярных полей рассматривается вектор, называемый градиентом, который обозначается
и вычисляется

Теорема. Проекция вектора на единичный вектор
равна производной функции по направлению
Между градиентом функции в данной точке и производной по направлению существует тесная связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно также сказать , что
проекция градиента на вектор равна скорости изменения поля в направлении этого вектора.

Обозначим через угол между единичным вектором и
Тогда
Поэтому