Proizvodnaya_funktsii

Производная
Большинство функций, изучаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа, имеют себе в пару другую функцию, называемую производная функция от данной, или просто производная.

Задача
На станции метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с²?

Решение
Ѵ-?(мгновенная скорость в этот момент времени)
Тормозной путь
Где а- ускорение, t-время торможения.
S=80, a=1,6, поэтому
80=0,8t²
t=10 с
По формуле Ѵ=at.
Ѵ=1,6*10=16 м/с

Задачи, приводящие к понятию производной

Таблица производных

Таблица производных

Правила дифференцирования

Правила дифференцирования
Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций, например:

Формулы дифференцирования

Найти производную функции
Решение

Решение
Найти производную функции

Решение
Найти производную функции

Решение
Найти производную функции

Решение
Найти производную функции

Понятие и вычисление производной n-го порядка

Производная сложной функции

Производная сложной функции
Пример
Решение

Решение
Производная сложной функции

Геометрический смысл
производной

Какой угол образует производная?

Производная на ЕГЭ (задача В8)
Используя определение получим

Производная на ЕГЭ (задача В8)
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции y = f(x) в точке .
Ответ:

Производная на ЕГЭ (задача В8)
На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: x = - 3

3) К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой на рисунке изображен график производной этой функции. Определите градусную меру угла наклона касательной.
Решение
По графику определяем, что
Ответ:

Уравнение касательной

Пример
Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции точке графика с абсциссой
Решение
Ответ:

Физический (механический)
смысл производной

Пример
Материальная точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна
Найдите ускорение точки в момент времени t = 3.
Решение
Ответ: