Равносильность уравнений. Линейные уравнения

Основные определения
Уравнением называется два алгебраичес-ких выражения, соединенные знаком равенства (=).
Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором это равенство достигается.
Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что корней нет.

Линейное уравнение с одним неизвестным
(общий вид)
ах + b = 0
а, b – любые действительные числа
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
И так далее.

ах + b = 0
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые действительные числа"... А если заметить, да неосторожно задуматься? Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
0=0
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается
совсем уж что-то несусветное:
5=0
А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать.

Всё решение линейных уравнений состоит из
тождественных преобразований уравнений.
Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом.

При решении уравнений используют теоремы о равносильности, которые мы рассмотрим на примере линейных уравнений.
Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Другими словами, два уравнения равносильны, если корни одного уравнения являются корнями второго и наоборот.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то полученное уравнение будет равносильно исходному.
ах + b = 0 Прибавим о обеим частям уравнения число (-b)
ах + b + (-b) = 0 + (-b) В левой части уравнения b + (-b) сократятся.
ах = -b Получили следствие, которым вы всегда пользовались:
Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак
на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то полученное уравнение будет равносильно исходному.
ах = -b Умножим обе части уравнения на 1/a (а≠0)
ах ∙⅟а = -b ∙⅟а В левой части а∙⅟а=1, поэтому получим
х = -b /а

Для решения линейных уравнений надо:
Слагаемые, зависящие от х, перенести в одну часть уравнения, числа – в другую часть.
Привести подобные члены в каждой части уравнения.
Найти неизвестную (переменную) х.

Для начала рассмотрим самый простой пример.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести -4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а -3 в правую. Это и есть применение
теоремы 1 (вернее, следствия из неё). Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
5х = 5
Что нам не хватает для полного счастья? Пятёрка перед х в левой части мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второй теоремы о равносильности. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
х = 1

Решим что-нибудь посолиднее.
Что вам больше всего не нравится в этом уравнении? 95 человек из 100 ответят: дроби! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся, если, конечно, в вашем арсенале имеется
теорема 2 о равносильности уравнений.
Умножим обе части на 12, т.е. на общий знаменатель. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком. Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие! Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо ( но мы-то помним, что это следствие из теоремы 1!)
Приводим подобные: 25х = 4
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем теорему 2
Вот и всё. Ответ: х=0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали две (всего две!) теоремы о равносильности – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями!
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью теорем о равносильности до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение: 2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо. 2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опа!! Получаем: 0=0
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик? Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икс, которые при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких икс это получается. Какие значения икс можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно сокращаются в полный ноль? Ну же?
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить. Подставляйте любые значения икс в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.

Сюрприз второй.
Возьмём то же линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х + 1 = 5х + 5 - 3х - 2
После тех же самых преобразований мы получим нечто интригующее: 0 = 2
Вот так: решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Какие значения икс при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё сократится, останется бред.
Вот вам и ответ: решений нет.

Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17.
Получилось?! Поздравляю!
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.