Разложение вектора по базису

Содержание

Слайд 2

ТЕОРЕМА

Линейно независимая система векторов
в пространстве Rn является базисом
тогда и только тогда, когда

ТЕОРЕМА Линейно независимая система векторов в пространстве Rn является базисом тогда и
число
векторов этой системы равно
размерности пространства n.

Слайд 3

ТЕОРЕМА

Разложение любого вектора в данном
базисе является единственным.

ТЕОРЕМА Разложение любого вектора в данном базисе является единственным.

Слайд 4

Пусть система векторов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

является базисом.
Предположим, что вектор b может быть представлен в

Пусть система векторов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: является базисом. Предположим, что вектор b может быть
виде линейной комбинации базисных векторов двумя способами:

Слайд 5

Причем наборы чисел

Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, т.е.

Причем наборы чисел Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, т.е.
Система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы.

и

не совпадают.

Вычтем одно равенство из другого:

Следовательно, разложение вектора в данном базисе будет единственным.

Слайд 6

Таким образом, в произвольном базисе пространства Rn любой вектор из этого пространства

Таким образом, в произвольном базисе пространства Rn любой вектор из этого пространства
представим в виде разложения по базисным векторам:

Причем, это разложение является единственным для данного базиса.

Числа

называются координатами вектора

в базисе

Слайд 7

Чтобы найти коэффициенты разложения αi в случае произвольного базиса, нужно приравнять соответствующие

Чтобы найти коэффициенты разложения αi в случае произвольного базиса, нужно приравнять соответствующие
координаты линейной комбинации и координаты вектора

Пусть базисные вектора заданы в координатной форме:

И задан вектор

Слайд 8

Тогда получим систему линейных уравнений:

Решая эту систему, находим коэффициенты разложения

Тогда получим систему линейных уравнений: Решая эту систему, находим коэффициенты разложения

Слайд 9

Рассмотрим базис пространства Rn , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам

Рассмотрим базис пространства Rn , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам
базиса:

Такой базис называется ортогональным.
Они хорошо представимы на плоскости и в пространстве:

Слайд 11

Найдем разложение вектора

в ортогональном базисе:

Умножим обе части равенства на

Поскольку все

Найдем разложение вектора в ортогональном базисе: Умножим обе части равенства на Поскольку
вектора базиса взаимно ортогональны, то

Слайд 12

Имеем:

В общем случае:

Имеем: В общем случае: