Решение треугольников

Содержание
Теорема о площади треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов
Задача № 1
Задача № 2
Задача № 3
Решение задач

Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними
С
А
В
с
b
a
h
Дано: ∆АВС
Доказать:
S∆ABC = ab sin C
Доказательство:
Н

Теорема синусов
С
А
В
с
b
a
β
α
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
γ
Дано: ∆АВС
Доказать:
Доказательство:

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
С
А
В
с
b
a
Дано: ∆АВС
Доказать:
a2 = b2 + с2 – 2bc cos α
Доказательство:
α

Задача № 1 Решение треугольника
по двум сторонам и углу между ними
Дано: ∆АВС, a, b, γ.
Найти: с, α, β.
Решение:
1. По теореме косинусов с2 = a2 + b2 – 2ab cos γ.
Откуда с = √a2 + b2 – 2ab cos γ.
2. По теореме косинусов cos α =
3. β = 180о − α − γ.
А
В
С
с
а
b
γ
α
β

Задача № 2 Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: ∆АВС, a, β, γ.
Найти: b, с, α.
Решение:
1. α = 180о − β − γ.
2. По теореме синусов:
b = a ; c = a
А
В
С
с
а
b
γ
α
β

Задача № 3
Решение треугольника по трем сторонам
Дано: ∆АВС, a, b, с.
Найти: α, β, γ.
Решение:
По теореме косинусов: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Откуда cos α =
Аналогично, cos β =
γ = 180o − α − β
А
В
С
с
а
b
γ
α
β