Математические кривые в природе и технике

Математические кривые
в повседневной жизни
Проект выполнили:
Чежегов Александр, Мартьянов Иван,
8 класс МБОУ ФМЛ
г. Глазов
2012

Цель работы
– создать анимационные модели графиков
(параболы, синусоиды, циклоиды, архимедовой и логарифмической спиралей).
Задачи проекта:
изучить проявления данных кривых в природе,
выяснить, как кривые применяются в технике,
смоделировать рост, деформацию и траектории тел по кривым в редакторах «Gimp» и «Power Point»,
обеспечить легкое внедрение анимационных модулей в учебные презентации,
заинтересовать учащихся исследованием графиков функций.

Вся анимация сделана авторами проекта и не имеет аналогов. Это:
gif-анимация на основе фото и рисунков,
Power Point-анимация,
gif-анимация на основе видео с сайта etudes.ru.
Анимация может быть использована учителями на уроках физики, географии, биологии и математики.
Фотографии кривых в быту и технике (Приложение 1) сделаны самостоятельно.

парабола
синусоида
циклоида
архимедова спираль
логарифмическая спираль
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3

Парабола
y = ax 2 + bx + c

Определение параболы
Квадратичная функция
Коническое сечение
Параболой называется график квадратичной функции.
Ещё Аполлоний Пергский, живший за 200 лет до н. э., назвал параболой одно из сечений конуса.

Свойства параболы
Свободное падение
Действие
атмосферы
Струя и гравитация
Любой предмет, брошенный под углом к горизонту, падает по параболе.
В земных условиях мы вряд ли увидим идеальную траекторию параболы из-за торможения воздухом. На других планетах, где нет атмосферы, предмет летит по идеальной параболе. При сопротивлении атмосферы чем больше масса тела, тем траектория ближе к параболе.
Струи жидкости под воздействием гравитации принимают параболическую форму.
Без атмосферы
С атмосферой
(камень)
С атмосферой
(песчинка)
y = ax 2 + bx + c

Модель параболы
Баллистика
Прыжок
В баллистике часто используется закон полета тела по параболе. Известно, что траектория наибольшей дальности полета достигается при выстреле под углом примерно 45° к горизонту.
Кроме того, любое животное совершает прыжок по параболе.
Анимация создана
на основе
видео etudes.ru
,

Синусоида
y = a + b sin(cx + d)

Движение змеи
Волны жидкости
Прогиб опоры
Виды волн
Биение сердца
Синусоиду часто можно видеть в рисунках, образуемых природой. След-синусоида остаётся после движения змеи по песку.
Существует множество видов волн. К ним относятся и морские волны. При небольшой амплитуде колебаний в поперечном разрезе они действительно представляют собой синусоиду. При возрастании амплитуды синусоида искажается за счет возмущений-солитонов. Поэтому в морской волне трудно угадать идеальную синусоиду.
Волны могут быть и невидимыми: свет, звук, радиоволна. Можно сказать, что гармонические волны, распространяющиеся по синусоиде, пронизывают наш мир.
Биение сердца отражается на кардиограмме сложением нескольких синусоид.
По синусоиде могут изгибаться вертикальные опоры при критических нагрузках.
y = a + b sin(cx + d)

Циклоида
x = r arccos (r – y) / r – √ (2r y – r2 )

Точки на поверхности
Центр тяжести человека
Движение точки по циклоиде
Циклоиду может описывать точка на поверхности круглого предмета, катящегося по прямой без проскальзывания.
При ходьбе центр тяжести человека описывает циклоиду, радиусом которой является выпрямленная опорная нога идущего.
x = r arccos (r – y) / r – √ (2r y – r2 )

Кривая кратчайшего спуска
Таутохрона
Свойства циклоиды
Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и «время». Это кривая наикратчайшего спуска. Предметы скатываются по ней быстрее, чем по прямой или по сектору окружности. Свойства брахистохроны используют в трассах для бобслея.
Сделаем три одинаковые горки с профилем в виде циклоиды, так, чтобы конец горки приходился в вершину циклоиды. Поставим три боба на разные высоты и дадим отмашку. Удивительнейший факт — все бобы приедут вниз одновременно! Поэтому кривая скольжения называется таутохроной, то есть, «одновременной».
Анимация создана
на основе
видео etudes.ru

Архимедова спираль
r = α k

Построение спирали
Планорбис, улитка
человеческого уха
Грампластинка
и компакт-диск
Архимедова спираль – это кривая, образованная точкой, равномерно движущейся по радиус-вектору, который в то же время равномерно вращается вокруг неподвижной точки.
Архимедова спираль крайне редка в природе. Что-то подобное вы можете видеть на раковине пресноводного моллюска Планорбис, который часто обитает в домашних аквариумах. Улитка человеческого уха по форме приближена к архимедовой спирали.
В области техники спираль Архимеда находит широкое применение: это звуковая дорожка на грампластинке или дорожка на компакт-диске.
r = α k

Логарифмическая спираль
ln r = α k

Построение
с помощью подобных
треугольников
Менотаксис
Построение
логарифмической спирали
Если при построении архимедовой спирали точка будет двигаться с ускорением, мы получим логарифмическую спираль. Также её можно построить, поворачивая вокруг полюса треугольник, растущий по логарифмической зависимости.
На приведенном примере удобно объяснить менотаксис – явление, когда насекомые движутся под определенным углом к лучам света. Логарифмическая спираль неизбежно приводит насекомое к источнику света.
ln r = α k
r = еkα

Раковина аммонита,
рога архара
Подсолнух, ананас, шишка
Циклоны, водовороты, смерчи
Примеры
логарифмической спирали
Раковины и рога архаров растут в виде логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.
В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали, то же самое можно сказать о строении шишки, ананаса, многих других растений.
Гидродинамические и аэродинамические завихрения имеют в основе логарифмическую спираль.

Маленькие и большие
логарифмические спирали
Самой маленькой аэродинамической спиралью можно считать микроторнадо, которое создает кленовое семя, вращаясь вокруг оси.
Полет семени
Образование
циклона
Рост раковины
Галактики
Огромные облачные вихри 800 км в диаметре образуются при сближении холодного и теплого фронтов воздуха. Появляется волна, расширяющаяся в сторону холодного фронта. Так постепенно формируется вихревая структура циклона.
Все сегменты раковины подобны друг другу, поэтому добавление нового сегмента не изменяет форму раковины. Самая большая спираль в живом мире - раковина вымерших моллюсков аммонитов (до 2 метров в диаметре).
ТЕПЛЫЙ ФРОНТ
ХОЛОДНЫЙ ФРОНТ
По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика Млечный путь, которой принадлежит Солнечная система.

В природе траектории тел, их деформация и рост связаны с математическими кривыми.
Кривые используются в технике.
Анимация помогает понять связь между математикой и жизнью.
В будущем мы планируем изучить такие кривые, как гипербола, эллипс, эволюта, эвольвента, цепная линия, лемниската Бернулли.
Выводы
Спасибо
за внимание!

Приложение 1.
Примеры кривых
в быту
Посмотрите на сделанные нами снимки. Какие кривые вы на них узнаете?

Гюйгенс нашел так называемую таутохрону, т.е. кривую, по которой тела скатываются вниз за одно и то же время с любой высоты в отсутствие трения.
Гюйгенс сконструировал «щеки» в форме таутохроны, которые ограничивают качание подвеса и регулируют эффективную длину нити. При этом шарик движется точно по циклоиде, и на какой бы угол ни отклонили шарик, он будет доходить до центра таутохроны за одно и то же время.
Приложение 2.
Циклоидный маятник