Решение задач в целых числах

Проблема
На уроках математики не отводится должного внимания решению задач в целых числах, тем не менее, задания такого типа включены в задания ЕГЭ.
Цель
Овладеть системой знаний и умений при решении задач с целыми числами.

Задачи
1) Описать основные базовые задачи в целых числах;
2) На основе базовых задач решать более сложные задачи в целых числах, разлагая их по базовым задачам;
3) Сформулировать алгоритм решения задач КИМ ЕГЭ типа С6.
Объектом исследования является класс теоретико-числовых задач, решаемых в целых числах, предметом исследования – технология базовых задач в целых числах.

БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ
Б31. Деление с остатком
Б32. Задача определения вида числа: простое или составное
Б33. Задача приведения натурального числа к каноническому виду
Б34. Задача нахождения НОК, НОД двух и более чисел
Б35. 1) Задача нахождения числа делителей произвольного натурального числа (прямая задача)
2) Задача нахождения числа по числу его делителей (обратная задача)
Б36. Задача нахождения целых решений линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными
Б37. Задача нахождения целых решений квадратных диофантовых уравнений с двумя неизвестными
Б38. Задача нахождения целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными различного вида
Б39. Задача нахождения сумм различных числовых последовательностей
Б310. Задача математического моделирования в виде диофантовых уравнений (неравенств) и их систем
Б311. Решение задачи о принадлежности данного числа данному числовому множеству

Рассмотрим пример:
Пример: Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен 20092007?
Решение: Допустим, что
Решим полученное уравнение в целых числах.
- это число при делении на 4 дает остаток 3. Рассуждая по модулю 4, все числа делятся на 4 класса:

Квадрат любого числа при делении на 4 имеет остаток 0 или 1, а т.к. число при делении на 4 имеет остаток 3, то оно не может являться точным квадратом . Итак, дискриминант трехчлена с целыми коэффициентами не может равняться числу 20092007.
Ответ: нет. (Использовали БЗ1, БЗ8)

Задача С6: Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение: Пусть искомое число N.
Представим его в каноническом виде , тогда его количество делителей равно
=15
1)15
=15

Итак, число - имеет ровно 15 делителей, где - простое число. Но не одно из них не может оканчиваться 0.
2)
и
Итак, числа N= , N= - имеют ровно 15 делителей, где -простое число. По условию число N должно оканчиваться 0. и должны равняться 2 и 5.
и
Ответ: 400 и 2500. (Использовали БЗ5 (обратную задачу))