Цилиндр. Шар. Задачи по геометрии

Площади и объем цилиндра. Решение задач.

№1 Найдите объем и площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 и 8 см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон.
Дано:
ABCD – прямоугольник вращается вокруг оси симметрии меньших сторон, образуется цилиндр высокий.
AB = 6 см, BC = 8 см.
Найти: V цилиндра , S бок. цилиндра
6
8

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S бок. цилиндра = 2 · π· R·H
У цилиндра R = O1B = AB/2, H = BC
O1B = AB/2 = 6/2 = 3 см = R
H = BC = 8 см
V цилиндра = π · 32·8 =72π см3
S бок. цилиндра = 2 · π· 3·8 = 48 π см2
Ответ: V цилиндра = 72π см3,
S бок. цилиндра = 48 π см2
R
H
6
8

№2 Найдите объем и площадь полной поверхности тела, полученного при вращении квадрата со стороной 41 см вокруг прямой, которая проходит через середины противоположных сторон
Дано: ABCD – квадрат вращается вокруг оси симметрии, образуется цилиндр.
AB=ВС = 41 см.
Найти: V цилиндра , S полн. цилиндра
41
41

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
У цилиндра R = O1B = AB/2, H = BC
O1B = AB/2 = 41/2 = 20,5 см = R
H = BC = 41 см
V цилиндра = π · 20,52·41 =17230,25 π см3
S полн. цилиндра = 2 · π· 20,5·41 +2· π · 20,52 =
= 1681 π + 840,5 π = 2521,5 π см2
Ответ: V цилиндра = 17230,25 π см3 ,
S бок. цилиндра = 2521,5 π см2
R
H
41
41

Практическая работа
Вариант В=20
В – 2 последние цифры по студенческому билету
№1 Найдите объем и площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 10 и В см вокруг прямой, которая проходит через середины его больших сторон.
№2 Найдите объем и площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении квадрата со стороной В0 см вокруг прямой, которая проходит через середины противоположных сторон

№3 Площадь осевого сечения цилиндра равна
64 см2, а его образующая L равна диаметру d основания. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, сечение ABCD
S сеч = 64 см2
d = L
Найти: V цилиндра , S полн. цилиндра
R
L
R
Н

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
У цилиндра d=2R = L, таким образом у сечения АВСD стороны АВ=ВС . Поэтому АВСD является квадратом.
S квадрата = 64 см2
a2 = 64
a = √64 = 8 см = АВ=ВС = d=2R = L
L = 8 см , d = 8 см,
R = d/2 = 8/2 = 4 см
L = Н = 8 см
R
H
L
R

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
V цилиндра = π · 42·8 =128 π см3;
S полн. цилиндра = 2 · π· 4·8 + 2· π · 42 =
=64 π + 32 π = 96 π см2
Ответ:V цилиндра = 128 π см3;
S полн. цилиндра = 96 π см2
R
H
L
R

№4 Диагональ осевого сечения цилиндра равна
8 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 300 . Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, сечение ABCD
АС = 8 см, угол АСD= 300
Найти: V цилиндра , S полн. цилиндра
R
L
R
Н
300
8

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
Рассмотрим ∆ ACD – прямоугольный.
Катет против угла 300
равен половине гипотенузы.
AD = ½ * AC
AD = ½ * 8 = 4 cм
У цилиндра H = AD = 4 cм
R = DO = ½ * DC
R
L
R
Н
300
8

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
AD = ½ * AC
AD = ½ * 8 = 4 cм
У цилиндра H = AD = 4 cм
R = DO = ½ * DC
DC2 = AC2 - AD2
DC2 = 82 - 42 = 64-16=48
DC = √48 = √16*3=4√3 см
DO = ½ * 4√3 = 2√3 см = R
R
L
R
Н
300
8

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S полн. цилиндра = S бок + 2·Sосн
S полн. цилиндра = 2 · π· R·H + 2· π · R2
У цилиндра H = AD = 4 cм
DO = ½ * 4√3 = 2√3 см = R
V цилиндра = π · (2√3) 2·4 = π · (4 · 3) ·4 = =48 π см3
S полн. цилиндра =
2 · π· (2√3) ·4 + 2· π · (2√3) 2 =
=16 √3 π + 2· π · 4 ·3 = 16 √3 π +24 π см2
Ответ: V цилиндра = 48 π см3
S полн. цилиндра = 16 √3 π +24 π см2
R
L
R
Н
300
8

Самостоятельная работа
Вариант В=20
№3
Площадь осевого сечения цилиндра равна
В см2, а его образующая равна диаметру основания. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.
№4
Диагональ осевого сечения цилиндра равна
В*2 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 300 . Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

№ 5 Радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота в 2 раза больше длины окружности основания. Найдите объем и площадь боковой поверхности цилиндра
Дано: цилиндр,
Н=2∙С, С-длина окружности
R = 4 см
Найти: V цилиндра , S бок. цилиндра
R
H
4

Решение:
V цилиндра = π · R2·H;
S бок. цилиндра = 2 · π· R·H
Н=2∙С, где С= 2 · π· R
С= 2 · π· 4=8π см
Н=2∙8π = 16π см
V цилиндра = π · 42· 16π =256 π2 см3
S бок. цилиндра = 2 · π· 4·16π= 128 π2 см2
Ответ: V цилиндра =256 π2 см3
S бок. цилиндра = 128 π2 см2
R
H
4

№ 6 Радиус основания цилиндра равен 8 см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра
Дано: цилиндр
R = 8 см, S бок. цил =1/2∙ S осн. цил
Найти: S полн. цилиндра
Решение:
S бок. цил = 2 · π· R·H
S осн. цил. = π · R2
S полн. цил. =2 · π· R·H +2∙π · R2
R
H
8

Решение:
R = 8 см, S бок. цил =1/2∙ S осн. цил
S бок. цил = 2 · π· R·H
S осн. цил. = π · R2
S полн. цил. =2 · π· R·H +2∙π · R2
2 · π· R·H = 1/2 ∙π · R2
2 · π· 8·H = 1/2 ∙π · 82 : 8 π
2 ·H = 1/2 ∙8
2 ·H = 4
Н= 4:2 = 2 см
S полн. цил. =2 · π· 8·2 +2∙π · 82 = 32 π + 128 π = 160 π см2
Ответ: S полн. цил. =160 π см2
R
H
8

Вариант В=20
№ 5 Радиус основания цилиндра равен В0 см, а высота в 2 раза меньше длины окружности основания. Найдите объем и площадь боковой поверхности цилиндра
№ 6 Радиус основания цилиндра равен В см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Площадь и объем шара. Площадь сечения шара.
Решение задач.

№ 1 Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4π см2 . Найдите объем шара и площадь его поверхности.
О
R

О
R

№ 2 Найдите объем шара и площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведенной на расстоянии 29 см от центра.
Дано: шар, сечение (круг) проходит на расстоянии OO1 от центра
OO1 = 29 см, R = ОА =41см
Найти: Vшара
S сеч.
R

R
Rсеч

№ 3 Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если АВ=21 см, ВО = 29 см.
Дано: шар,
плоскость касания проходит на расстоянии OА от центра,
точка В лежит в плоскости касания
АВ = 21 см, R = ОА, ВО=29 см
Найти: Vшара
R

R
R