Семейство четырехугольников

Четырехугольник
Прямоугольник
Ромб
Трапеция
Квадрат
Прямоугольная
Равнобокая
Параллелограмм

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
Определение: (что такое четырехугольник):
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков.
При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными .
Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые
(как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Определение: (что такое параллелограмм)
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма (дан параллелограмм, и у него есть особенности)
-) противолежащие стороны равны;
-) противоположные углы равны;
-) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
-) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
-) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.
Признаки параллелограмма
(так можно доказать, что четырехугольник – параллелограмм)
Четырехугольник является параллелограммом, если:
-) две его противоположные стороны равны и параллельны;
-) противоположные стороны попарно равны;
-) противоположные углы попарно равны;
-) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

ПРЯМОУГОЛЬНИК
Определение: (что такое прямоугольник):
Прямоугольником называется параллелограмм,
у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника: (дан прямоугольник, и у него есть особенности):
-) все свойства параллелограмма;
-) диагонали равны.
Признаки прямоугольника (так можно доказать, что параллелограмм – прямоугольник):
параллелограмм является прямоугольником, если:
-) один из его углов прямой.
-) его диагонали равны.

Определение: (что такое ромб):
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба (дан ромб, и у него есть особенности):
-) все свойства параллелограмма;
-) диагонали перпендикулярны;
-) диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба (так можно доказать, что параллелограмм – ромб):
Параллелограмм является ромбом, если:
-) две его смежные стороны равны;
-) его диагонали перпендикулярны.
-) одна из диагоналей является биссектрисой
его угла.
РОМБ

Определение: (что такое квадрат):
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата (дан квадрат, и у него есть особенности):
-) все углы квадрата прямые;
-) диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата (так можно доказать, что прямоугольник – квадрат):
прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба:
-) две его смежные стороны равны;
-) его диагонали перпендикулярны.
-) одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
КВАДРАТ

ТРАПЕЦИЯ
Определение: (что такое трапеция):
Трапецией называется четырехугольник, у которого
две противолежащие стороны параллельны,
а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Свойства трапеции (дана трапеция, и у нее есть особенности):
-) ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
-) если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность (радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты, проведенной к основаниям).
Признаки трапеции (так можно доказать,
что четырехугольник – трапеция):
-) четырехугольник является трапецией,
если его параллельные стороны не равны.

Определение: (что такое равнобокая трапеция):
Трапеция называется равнобокой
(или равнобедренной),
если ее боковые стороны равны.
Свойства равнобокой трапеции (дана равнобокая трапеция, и у нее есть особенности):
-) все свойства трапеции;
-) если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны
и углы при основании равны;
-) если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
-) если продолжить стороны равнобокой трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием трапеции они образуют равнобедренный треугольник;
-) диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные
отрезки.
признаки равнобокой трапеции:
см. следующий слайд
РАВНОБОКАЯ ТРАПЕЦИЯ

Признаки равнобокой трапеции (так можно доказать, что трапеция равнобокая):
-) если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая;
-) если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая;
-) если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая;
-) если трапецию можно вписать в окружность,
то она равнобокая.
РАВНОБОКАЯ ТРАПЕЦИЯ

Определение: (что такое прямоугольная трапеция):
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства прямоугольной трапеции
(дана прямоугольная трапеция, и у нее есть особенности):
-) все свойства трапеции.
Признаки прямоугольной трапеции (так можно доказать, что трапеция прямоугольная):
-) всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны; в случае, когда три прямых угла это прямоугольник).
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ