Системы уравнений

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему,гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
А. Эйнштейн

Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий.

Определение
Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных
Линейное уравнение с
одной переменной
Линейное уравнение с
двумя переменными
Свойства уравнений
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному
Уравнение и его свойства

ЗНАКОМТЕСЬ..........
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно .
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Система линейных уравнений с двумя неизвестными
Сумма двух чисел равна 12, а разность равна 2. Найдите эти числа
Пусть x – первое число, а y – второе число, тогда:
Сумма чисел равна: x + y = 12
Разность чисел равна: x – y = 2

Пара значений x = 7 и y = 5 являются решением данной системы.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, при которых оба уравнения системы обращается в верное равенство
Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Решить систему уравнений - значит найти все её решения, либо доказать, что их нет

Работа в классе

СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы линейных уравнений
Графический
способ
Способ
подстановки
Способ
сложения

Выразим переменную у через х в каждом уравнении
Построим графики всех получившихся линейных функций
Найдем координаты точек пересечения
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ

Выразить у через х в каждом уравнении
Построить в одной системе координат график каждого уравнения
Определить координаты точки пересечения
Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)
Графический способ (алгоритм)

Решение системы графическим способом
y=10 - x
y=x+2
Выразим у
через х
Построим график
первого уравнения
у=х+2
Построим график
второго уравнения
у=10 - х
Ответ: (4; 6)

2х + у = -3,
3х + у = 1 y = -2x-3,
у = -3x+1
Сколько решений имеет система?
a)
2у =4x+8,
-2х + у = 1
y = 2x+4,
у = 2x+1
б)
2х – 2у = 1,
6х – 6у = 3
y=х – 0.5,
y=х – 0.5
в)

Способ сравнения (алгоритм)
Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении
Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных
Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной
Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение
Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы способом подстановки
Приравняем
выражения
для у
7х - 1=2х+4,
7х - 2х=4+1,
5х=5,
х=1.
Решим
уравнение
Ответ: (1; 6)

Закрепление:
№5.3(а)
№5.7(а)
№5.12(а)