Частные производные

Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное число z ∈ Z ⊂ R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y .

Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),

Аналогично определяется функция n независимых переменных
z = f(x1, x2,..., xn).
Областью определения такой функции будет множество D ⊂ Rn. Примером функций многих переменных в экономике являются производственные функции. При рассмотрении любого производственного комплекса как открытой системы (входами которой служат затраты ресурсов - людских и материальных, а выходами - продукция) производственная функция выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y.

Обозначается частная производная по x следующим образом:

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами

Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критическими.

Достаточные условия экcтремума для функции двух переменных.
Пусть точка Mo(xo, yo) - критическая точка функции z = f(x, y), т.е.
и функция z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки Mo(xo, yo).

Обозначим
Тогда:
если Δ > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при A < 0, минимум при
A > 0;
2) если Δ < 0, то экстремума в точке Mo нет;
3) если Δ = 0, то требуется дополнительное исследование.