Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Примеры функций нескольких переменных
S(a, b)=a·b – площадь прямоугольника со сторонами a и b.
– период колебаний груза массы m на пружине с жесткостью k.
– уровень рентабельности зависит от прибыли Р на реализованную продукцию, величины основных а и b оборотных фондов.

Декартово произведение

Функция п действительных переменных
Отображение f: Х →R, где называется действительной функцией п действительных переменных (аргументов).
Соответствие f, которое для каждой пары действительных чисел (х; у) из множества D определяет один и только один элемент z из множества Z, называется однозначной функцией двух переменных.

Функции
z=f(x; y)
f: D →Z
f: Х →R
y=f(x1; x2;…; xn)
Область определения (существования) функции

Окрестность точки
δ-окрестностью точки М0 (х0; у0) называется множество всех точек М(х; у) плоскости хОу, координаты удовлетворяют неравенству
М0
δ

х
y
0
Найти область определения функции
1
1

График функции f: Х→R
При п=2 графиком функции является поверхность в R3.

Функции двух переменных

Предел функции в точке М0 (х0; у0) (при х→х0 и у→у0)

Непрерывность функции в точке
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке М0 (х0; у0), если

Частные приращения функций двух переменных
Функция z=f(x, y) определена в окрестности точки М(х, у).
Δх – приращение переменной х в точке М (переменная у остается неизменной).
Частным приращением функции z=f(x, y) по переменной х называется
х
у
z
z = f (x, y)
0
D
M
Mx
х
y
f(M)
Δх
x+Δх
f(Mx)
Δхz
y+Δy
Δy
My
f(My)
Δyz

Частные производные функции двух переменных
Частной производной функции z=f(x, y) по переменной х называется предел, если он существует, отношения частного приращения функции по переменной х к приращению этой переменной, когда последнее стремится к 0.

Частные производные функции двух переменных
Частные производные функции z по переменным х и у.
Обозначения частной производной функции z=f(x, y)
по переменной х:
вычисленной в точке М(х0, у0)

Геометрический смысл частных производных
х
у
z
z = f (x, y)
0
M0
Р
у0
х0
х=х0
у=у0
z = f (x, y0)
z = f (x0, y)
α
β
Частная производная f /x(x0, y0) – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z = f(x,y) и плоскости у=у0 в соответствующей точке.

х
у
z
z = f (x, y)
0
M
у
х
Δх
Δу
y+Δy
x+Δх
Полное приращение функций двух переменных

Дифференцируемость функции
Функция z=f(x; y) называется дифференцируемой в точке М, если полное приращение этой функции
можно представить в виде

Полный дифференциал функции
Полным дифференциалом дифференцируемой функции z=f(x; y) в точке М называется главная часть её приращения, линейная относительно Δх и Δу, т.е.

Необходимое условие дифференцируемости функции
Если функция z=f(x; y) дифференцируема в точке М(х; у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные, причем

Достаточное условие дифференцируемости функции
Если функция z=f(x; y) в точке М(х; у) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Частные производные высших порядков
частные производные первого порядка
(непрерывные и имеют частные производные)
частные производные второго порядка
Смешанные
z = f (x, y)

Частные производные высших порядков
частная производная третьего порядка

Теорема Шварца
Если функция от п переменных определена в открытой п-мерной области, в которой существуют частные производные до (k–1)-го порядка включительно и смешанные производные k-го порядка включительно и все эти производные непрерывны, то смешанные производные k-го порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Дифференциалы высших порядков
полный дифференциал
первого порядка
дифференциал
второго порядка
z = f (x, y)

Точки экстремума
Точка М0(х0, у0) области D называется точкой локального максимума (минимума) если существует В(М0, δ), что для всех точек М(х, у) из В(М0, δ)∩D выполняется неравенство f(x0, y0) ≥ f(x, y) ( f(x0, y0) ≤ f(x, y)).
Точки максимума и минимума (Δz – знакопостоянно) функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремальными.
х
у
z
z = f (x, y)
М0
х
у
z
z = f (x, y)
М0
М
Функция z=f(x, y) определена в области D

Необходимое условие существования экстремума
Если функция z=f(x, y) определена и дифференцируема в В(М0, δ) и имеет в точке М0(х0, у0) экстремум, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю:
х
у
z
z = f (x, y)
М0
М
Эта система эквивалентна уравнению df(x, y)=0.

Необходимое условие достижения дифференцируемой функцией z=f(x, y) экстремума в точке М0(х0, у0) геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности (графику функции z=f(x, y)) в соответствующей её точке параллельна плоскости независимых переменных.
х
у
z
z = f (x, y)
М0
х
у
z
z = f (x, y)
М0
О
О
Точка М0(х0, у0), в которой все частные производные функции z=f(x, y) существуют и равны нулю, называется стационарной точкой данной функции.

Замечание.
Функция z=f(x, y) может иметь экстремум и в таких точках, в которых по крайней мере одна из частных производных не существует.
Например, функция в точке О(0, 0) имеет минимум, но в этой точке частные производные первого порядка не существуют.
х
у
z
Точки, в которых частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существуют, называются критическими точками.

Достаточное условие существования экстремума
Пусть функция z=f(x, y) определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(х0, у0), причем . Обозначим
Если Δ<0, то точка М0(х0, у0) не является точкой экстремума;
Если Δ=0, то требуются дополнительные исследования.
Случай функции двух переменных
Если Δ>0, а11<0, то точка М0(х0, у0) – точка максимума;
Если Δ>0, а11>0, то точка М0(х0, у0) – точка минимума;
Точка М0(х0, у0) является точкой экстремума если d2f (M0) знакопостоянен.

Замечание.
Стационарная точка функции z=f(x, y) может и не являться точкой экстремума.
Например, функция в точке О(0, 0) не имеет экстремума, хотя в этой точке частные производные первого порядка равны нулю.
х
у
z