Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность. Формула Бейеса. Лекция 2

Содержание
Теорема сложения вероятностей и ее следствия
Теорема умножения
Независимые события
Теорема умножения для независимых событий
Расширенная теорема сложения
Формула полной вероятности
Формула Бейеса или формула вероятности гипотез
Схема Бернулли
Биноминальная формула

Теорема сложения вероятностей и ее следствия

Примеры
Пример 1. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?
Пример 2. В урне, содержащей n шаров белого, красного и черного цветов, находятся k белых шаров и l красных. Какова вероятность вынуть шар не черного цвета?

Пример
Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причем на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором – 25%. Допустим, что среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определенного стандарта, а для продукции второго завода этот процент равен 63%. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

Теорема умножения

Примеры
Пример 1. В продукции некоторого предприятия признаются годными (событие А) 96% изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие принадлежит к первому сорту.
Пример 2. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2, Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы (т. е. в 2% случаев выстрела не произойдет)?

Независимые события
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступило другое.
Аналогично, вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны с белыми и черными шарами, если вынутый первым шар предварительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой. Наоборот, если шар, вынутый первым, не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Здесь мы имеем пример зависимых событий.

Независимые события
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступило другое.

Теорема умножения для независимых событий
Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А и В)=Р(А)Р(В).
События A, B, … , L. Будем называть их независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.
Теорема умножения (для событий независимых в совокупности): Вероятность совмещения событий A, B, … , L, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р (A и B и … и L )=Р (А)Р (В)... Р (L).

Примеры
Пример 1. Рабочий обслуживает три автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправности, если станок остановится. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9. Та же вероятность для второго станка равна 0,8, а для третьего – 0,7. Определить вероятность того, что в течение часа рабочему не потребуется подойти ни к одному из обслуживаемых им станков.
Пример 2. Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом р=0,004. Какова вероятность уничтожения неприятельского самолета при одновременной стрельбе из 250 винтовок?

Пример

Расширенная теорема сложения
Если события А и В совместны, то вероятность наступления хотя бы одного из них не равна сумме их вероятностей.
Расширенная теорема сложения: Пусть А и В – произвольные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения, т. е.
P(A или B)=P(A)+P(B) – P(A и B)
Пример: В электрическую цепь включены последовательно два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определить вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Пример

Пример

Формула полной вероятности

Пример
При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких – соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,3 и мелкий – с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Формула Бейеса или формула вероятности гипотез

Пример

Схема Бернулли

Биноминальная формула

Пример
Пример: Производится восемь выстрелов по резервуару с горючим, причем первое попадание вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна р=0,2?

Пример

Пример
Пример. В некотором производстве вероятность того, что отдельная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Какова вероятность того, что в партии из 10 000 изделий бракованных окажется:
а) ровно 40?
б) не более 70?

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример

Пример