Случайные величины

Случайные величины
Случайная величина - это переменная, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, причем заранее не известно, какое именно.
Примеры случайных величин:
- число очков, выпавших на верхней грани игрального кубика;
- число студентов, пришедших на лекцию;
- расстояние от центра мишени до точки попадания при выстреле;
- сумма выплаты по очередному страховому случаю и т. п.
Для определения случайной величины необходимо задать ее закон распределения.

Закон распределения - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти значения.
Для практического применения не всегда необходимо иметь полное представление о случайной величине, достаточно знать некоторые ее числовые характеристики, дающие суммарное представление о случайной величине, к которым, прежде всего, относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание М(Х) - это число, характеризующее среднее значение случайной величины X.
Свойства математического ожидания:
- математическое ожидание постоянной величины равно этой величине
М(С) = С;

- математическое ожидание произведения постоянной величины С и случайной ветчины X равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной величины (константу можно вынести за знак математического ожидания):
М(С·Х) = С·М(Х);
- математическое ожидание алгебраической суммы n случайных величин Х1, Х2, ..., Хп равно алгебраической сумме математических ожиданий этих случайных величин:
М(Х1 ± Х2 …± Хп) = М(Х1) ± М(Х2)...± М(Хn);
- математическое ожидание произведения п независимых случайных величин Х1, Х2, ..., Хп равно произведению математических ожиданий этих случайных величин:
М(Х1Х2…Хп) = М(Х1)·М(Х2)…М(Хn);

- математическое ожидание алгебраической суммы случайной величины X и постоянной величины С равно алгебраической сумме этой константы и математического ожидания случайной величины:
М(Х ± С) = М(Х) ± С,
в частности, М(Х - М(Х)) = 0.
Дисперсия характеризует разброс или рассеяние значений случайной величины около ее математического ожидания.
Дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X - M(X)]2.
Свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной величины C равна нулю:
D(С) = 0;

- дисперсия произведения постоянной величины С и случайной величины X равна произведению квадрата этой константы на дисперсию случайной величины (константу можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат):
D(C·X) = C2·D(X);
- дисперсия алгебраической суммы п независимых случайных величин Х1, Х2..., Хп равна сумме дисперсий этих случайных величин:
D(X1 ± X2 ...± Xn) = D(X1) + D(X2)...+D(Xn);
- дисперсия алгебраической суммы случайной величины Х и постоянной величины С равна дисперсии случайной величины:
D(X ± C) = D(X),
в частности, D(C1·X - C2) = C12D(X).
Формула упрощенного вычисления дисперсии имеет вид:
D(X) = M(X2) - (M(X))2.

Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина - случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное, но счетное число отдельных изолированных значений (т. е. их можно перенумеровать натуральными числами).
Для дискретной случайной величины простейшей формой задания закона распределения является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в верхней строке которой указаны возможные значения хi, дискретной случайной величины X, а в нижней - вероятности рi, того, что X примет значение хi.

При построении ряда распределения необходимо помнить, что:
0 ≤ Pi ≤ 1, по свойству вероятности;
, так как события (Х = х1), (Х= х2), ..., (Х = хn) составляют полную группу попарно несовместных событий.
Графическое представление ряда распределения называется многоугольником (полигоном) распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины
Функция распределения (интегральная функция) F(x) определяет для каждого возможного значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
F(x) = P(X < х).
Функция распределения дискретной случайной величины F(x) равна сумме вероятностей всех значений хi, меньших заданного значения х:
Свойства интегральной функции распределения дискретной случайной величины:
1. Функция распределения может принимать любые значения от 0 до 1, так как по определению является вероятностью: 0 < F(x) < 1.

2. Интегральная функция распределения является неубывающей:
F(x2) > F(x1), если х2 > х1
3. Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
1. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле:
2. Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле:
Говорят: дисперсия есть математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.
3. Среднее квадратическое отклонение:

Пример. Вероятность всхожести семян некоторого растения равна 0,8. Составить закон распределения числа взошедших семян из трех посеянных. Найти математической ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение.
Случайная величина X - число взошедших семян из трех посеянных. X может принимать числовые значения: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3.
Для каждого из 3 семян вероятность события А - семя взошло - по условию постоянна и равна:
р(А) = р = 0,8; Р(A) = q = 1 - р = 0,2.
Вероятность того, что взойдут все три семени:
р4 = р3 = 0,83 = 0,512.
Вероятность того, что все они не взойдут:
р1 = q3 = 0,23 = 0,008.

Вероятность того, что взойдет ровно одно семя:
p2 = 3pq2 = 3·0,8·0,22 = 0,096.
Вероятность того, что взойдут ровно два семени:
р3 = 3p2q = 3·0,82·0,2 = 0,384.
Правильность составления закона подтверждается равенством:
р1 + р2 + р3 + р4 = 0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1.
Найдем числовые характеристики случайной величины – числа взошедших семян.
1. Математическое ожидание равно:
М(Х) = 0·0,008 +1·0,096 + 2·0,384 + 3·0,512 = 2,4.
2. Дисперсия равна
D(X) = (0-2,4)2·0,008 + (1-2,4)2 ·0,096 + (2-2,4)2·0,384 +
+ (3-2,4)2·0,512 = 0,48.
3. Среднее квадратическое отклонение равно

Основные законы распределения дискретных случайных величин
Биномиальный закон распределения - закон распределения дискретной случайной величины X, представляющей собой число т наступлений события А в серии п независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью р.
По условию вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна Р(Аi) = р и испытания независимы. Поэтому вероятность того, что событие А наступит в п испытаниях ровно т раз, рассчитывается по формуле Бернулли:
Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если она принимает целочисленные неотрица-тельные значения 0, 1, 2, 3, ..., т,..., п с вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения, равны:
М(Х) = п ·р, D(X) = п ·р·q.
Пример. Вернемся к последней рассмотренной задаче. Число опытов, связанных с выращиванием трех зерен,
n = 3. Вероятность того, что зерно взойдет в опыте р = 0,8, а что не взойдет q = 1 - p = 0,2.
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины по формулам, приведенным выше:
М(Х) = п ·р = 3·0,8 = 2,4,
D(X) = п ·р·q = 3·0,8·0,2 = 0,48.
Ответ, как и следовало ожидать, не отличается от полученного ранее.

Закон распределения Пуассона - закон распределения дискретной случайной величины X, представляющей собой число т наступлений события А в заданном промежутке времени или пространства при заданной интенсивности λ.
В отличие от биномиального с параметрами п (число независимых испытаний) и р (вероятность наступления события А в каждом испытании), закон распределения Пуассона определяется интенсивностью λ наступления события А.
Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, может принимать все неотрицательные целые значения: 0, 1, 2, ..., п, ...
Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, определяется по формуле:

Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром X, если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, ..., т, ..., п,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями, вычисляемыми формуле Пуассона:
где λ = п·р - параметр распределения Пуассона.
Так как вероятность наступления события А в каждом испытании мала, закон распределения Пуассона еще называют законом редких событий.
Числовые характеристики закона Пуассона определяются формулами:
М(Х) = D(X) = λ = n·p.

Пример. В приемное время врача посещает в среднем 7 человек в час. Составить закон распределения числа пациентов, посетивших врача в течение часа.
Решение.
Случайная величина X - число пациентов, посетивших врача в течение часа. Taким образом, оценивается число т наступлений события А (пациент пришел к врачу в течение часа) при заданной интенсивности λ = 7 (среднее число посетителей в час определяется в соответствии с формулой: М(Х) = λ = 7, что и было задано в условии задачи).
Следовательно, случайная величина X подчиняется закону распределения Пуассона с параметром λ = 7.

Случайная величина X может принимать числовые значения: х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3,... с вероятностями pi, равными:
Таким образом, закон распределения случайной величины Х - числа пациентов, посетивших врача в течение часа, имеет вид:

Геометрическое распределение
Если дискретная случайная величина может принимать только значения целых натуральных чисел с вероятностями
P(X = k) = pqk-1, k = 1, 2, 3…
где 0 < p < 1, q = 1 – p,
то говорят, что дискретная случайная величина подчиняется геометрическому распределению.
С помощью геометрического распределения оценивают вероятность проведения некоторого числа испытаний для достижения успеха.
Математическое ожидание и дисперсию определяют по формулам
М(Х) = 1/р; D(X) = q/p2.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком равна р = 0,7. Случайная величина Х – это число выстрелов до первого попадания в мишень. Определить вероятности попадания в мишень при осуществлении двух, трех, четырех и пяти выстрелов, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Р(Х = 2) = p·q = 0,7·0,3 = 0,21;
Р(Х = 3) = p·q2 = 0,7·0,32 = 0,063;
Р(Х = 4) = p·q3 = 0,7·0,33 = 0,0189;
Р(Х = 5) = p·q4 = 0,7·0,34 = 0,006;
М(Х) = 1/р = 1/0,7 = 1,43;
D(X) = q/p2 = 0,3/0,72 = 0,61.