Результант. Литература

Литература
Е.А.Калинина, А.Ю.Утешев "Теория исключения", 2002 год
Vmath.ru (Интерактивная информационно-консультационная среда, a.k.a записная книжка Утешева)
В.В.Прасолов "Многочлены", 2001 год

Определение результанта
Пусть даны два полинома:
Из их коэффициентов составлена матрица:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Выражение
называется результантом полиномов f и g
в форме Сильвестра.
Замечание: чаще в литературе матрицу, определителем которой является результант (матрицу Сильвестра), определяют в несколько другом виде. Однако через приведённый выше вид удобнее определять субрезультант.

Теоремы
ТЕОРЕМА: Для того, чтобы f и g имели общий корень необходимо и достаточно, чтобы R(f, g) = 0.
СЛЕДСТВИЕ: (представление результанта через корни полиномов)
ЗАМЕЧАНИЕ: Частный случай при g = const: R(f,const) = (const)n
Пусть — корни полинома f, — корни полинома g. Тогда:

Свойства
Свойство 1: R(f, gh) = R(f, g)R(f, h)
Свойство 2: R(g, f) = (-1)nm R(f, g)
Свойство 3: Если f = gq + r, то R(f, g) = b0(deg f – deg r) R(r, g)

Свойства
Свойство 4: Если
и
, то
Свойство 5: Пусть
не равны 0
Тогда

Результант и НОД
Алгоритм Евклида:

Результант и НОД
ТЕОРЕМА: существуют полиномы v(x) и u(x) со степенями deg u ≤ (deg f) - 1, deg v ≤ (deg g) - 1, удовлетворяющие тождеству R(f,g) ≡ f(x)v(x) + g(x)u(x). Если же f и g взаимно просты, то полиномы v, u определены единственным образом.
Линейное представление НОД:

Субрезультант
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы М1, полученной из матрицы М вычёркиванием первых и последних строк и столбцов, называется первым субрезультантом полиномов f и g.

Субрезультант
ТЕОРЕМА 1: Для того, чтобы f и g имели ровно один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы R(f, g) = 0, R(1)(f, g) ≠ 0.
ТЕОРЕМА 2: Пусть R(f, g) = 0 и x = c — общий корень f и g. Обозначим
f1 = f/(x – c), g1 = g/(x – c). Тогда R(1)(f, g) = R(f1,g1).
СЛЕДСТВИЕ 1: При выполнении условия теоремы 1 единственный общий корень рационально выражается через коэффициенты полиномов f(x) и g(x):

Субрезультант
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы M2, получаемой из матрицы M вычеркиванием двух первых и двух последних столбцов, двух первых и двух последних строк, называется вторым субрезультантом полиномов f и g и обозначается R(2)(f, g).
ТЕОРЕМА 3: Для того чтобы f(x) и g(x) имели в точности два общих корня, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия R(f, g) = R(1)(f, g)=0, R(2)(f, g) ≠ 0 .
СЛЕДСТВИЕ 2:При условии теоремы 3 оба корня должны удовлетворять квадратному уравнению x2R(2)(f, g) + x det M2(1) + det M2(2) = 0. Полином, стоящий в левой части уравнения, является НОД (f, g).

Субрезультант
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы Mk, получаемой из матрицы M вычеркиванием k первых и k последних столбцов, k первых и k последних строк, называется k-м субрезультантом полиномов f и g и обозначается R(k)(f, g).
ТЕОРЕМА 5: А) Для существования d общих корней f(x) и g(x) (т.е. для того, чтобы deg(НОД (f, g)) = d), необходимо и достаточно, чтобы R(f, g) = R(1)(f, g) = ... = R(d−1)(f, g) = 0, R(d)(f, g) ≠ 0.
б) В этом случае НОД(f, g) можно представить в виде xdR(d)(f,g) + xd−1 det Md(1) + ... + det M(d)
в) Полиномы v(x) и u(x), дающие линейное представление НОД(f, g), получаются из R(d) заменой в нем последнего столбца на [xm−d−1, xm−d−2, . . ., x, 1, 0, 0,..., 0] и [0, 0,..., 0, 0, 1, x, . . ., xn−d−1] соответственно. Эти полиномы будут единственными при ограничениях на степени: deg v ≤ m − d − 1, deg u ≤ n − d − 1 .

Полином двух переменных
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если полином f(x, y) содержит только мономы степени k: f(x, y) = ak0xk + ak−1,1xk−1y + ... + a1,k−1xyk−1 + a0kyk то он называется однородным полиномом или формой степени k. Обозначение: fk(x, y).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Точка (x0, y0) ∈ C2 называется нулем полинома f(x, y), если f(x0, y0) = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Нуль (x0, y0) полинома f(x, y) будем называть вещественным, если x0 ∈ R и y0 ∈ R; в противном случае пару (x0, y0) и сопряжённую к ней будем называть комплексно-сопряженными нулями.

Общая схема исключения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Результант f(x, y) и g(x, y), рассматриваемых как полиномы по переменной y, называется элиминантой системы f(x,y) = 0, g(x,y) = 0 по x. Аналогично определяется и вторая элиминанта системы.
ТЕОРЕМА 1: Пусть выполнено условие
Если пара (a,b) является решением f(x,y) = 0, g(x,y) = 0, то необходимо, чтобы X(a) = 0, Y(b) = 0.
ТЕОРЕМА 2: Пусть выполнено условие
Тогда для любого корня а элиминанты Х существует хотя бы одно значение y = b такое, что пара (a,b) — решение f(x,y) = 0, g(x,y) = 0.