Тангенс суммы и разности аргументов

Цели
Изучить формулы тангенса суммы и разности аргументов.
Рассмотреть практическое применение данных формул.

Повторим
Синус суммы двух аргументов равен произведению синуса первого аргумента на косинус второго плюс произведение косинуса первого аргумента на синус второго.

Повторим
Косинус суммы двух аргументов равен произведению косинусов этих аргументов минус произведение синусов этих аргументов.

Повторим
Синус разности двух аргументов равен произведению синуса первого аргумента на косинус второго минус произведение косинуса первого аргумента на синус второго.

Повторим
Косинус разности двух аргументов равен произведению косинусов этих аргументов плюс произведение синусов этих аргументов.

Выведем формулу тангенса суммы двух аргументов
По определению тангенс есть отношение синуса к косинусу одного и того же аргумента
По изученным формулам синуса и косинуса суммы, получим

Разделим числитель и знаменатель последней дроби на
При всех допустимых значениях х и у

Получили:
Аналогично можно доказать, что

Пример 1.
Вычислить:
Решение.

Пример 2.
Вычислить:
Решение.

Пример 3.
Вычислить:
Решение.

Историческая страничка

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. В Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как
Средневековая Индия

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддхантеТригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у АриабхатыТригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.
Статуя Ариабхаты. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики (IUCAA)

Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв.

Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак НьютонТак, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. ГрегориТак, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.
Исаак Ньютон

Джеймс Грегори
Дата рождения: 1638
Место рождения:
Драмоук, Шотландия
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Дата рождения:
21 июня (1 июля) 1646
Место рождения: Лейпциг, Саксония, Германия, Священная Римская империя

С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-ХорезмиС VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте».
Аль-Хорезми
Имя при рождении: Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми аль-Маджуси
Дата рождения:
не позднее 799 или 780

После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Решите из учебника
№ 20.1, 20.3, 20.5, 20.7

Задание на дом
§ 20 выучить
№ 20.2, 20.4, 20.6