Теория вероятностей

Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений (событий, величин, функций, процессов и др.).
Она определяет и анализирует числовые характеристики случайных событий (объектов), наиболее важными из которых являются вероятность события и математическое ожидание случайной величины.

Событие (или Случайное событие) — это любой факт, который может либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий. При этом выполнение некоторого комплекса условий отождествляется с проведением испытания (опыта).

Вероятность события - численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р(А).
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события —положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 < P(A) < 1

X = xi есть случайное событие,
характеризующееся вероятностью P (X = xi) = pi.
Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, причем заранее не известно, какое именно, так как это зависит от случая.

Закон распределения — соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти значения.

Математическая статистика — раздел математики, изучающий методы обработки результатов массовых случайных явлений с целью выявления статистических закономерностей.

Генеральная совокупность (N)
Выборочная совокупность (n)
N = 18
n = 8

Пример:
При проведении ГКО был отобран один из ценообразующих факторов для земельных участков «Расстояние между оцениваемым участком и центром населенного пункта» (Х). Из генеральной совокупности земельных участков извлечена выборка n. Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот и основные характеристики вариационного ряда.

Решение:
Таблица распределения относительных частот

Решение:
Мода (M0 ) - варианта, имеющая наибольшую частоту.
M0 = 12
Медиана (me) - варианта, которая делит пополам вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой.
Если число вариант нечетно, т. е. k = 2l + 1, то me = xl + 1; если же число вариант четно (k = 2l), то me = (xl + xl+1)/2
В примере число вариант нечетно k = 2 ∙ 2 + 1,
me = x3 = 8.
Размах варьирования - разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:
R = xmax – xmin
R = 17 – 4 = 13

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно среднего значения случайной величины.
Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около средней величины: если дисперсия маленькая - значения сравнительно близки друг к другу,
если большая - далеки друг от друга.

Пример:
При проведении ГКО был отобран один из ценообразующих факторов для земельных участков «Расстояние между оцениваемым участком и центром населенного пункта» (Х). Из генеральной совокупности земельных участков извлечена выборка n. Выборка задана в виде распределения частот:
Найти среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Этапы проведения статистической сводки

Статистической группировкой называется разделение единиц совокупности на группы, по существенным варьирующим признакам
Группировочным признаком называется признак, по которому проводится объединение единиц совокупности в отдельные группы. В качестве основания группировки используются существенные, теоретически обоснованные признаки.

Этапы проведения статистической группировки

Для каждого массового процесса, явления, необходимо так же соблюдение определенных условий - «допусков» - т.е. специфическая мера вариации их элементов, при которой данный процесс или явление будет существовать оптимально.
Вариация – это необходимое условие существования и развития массовых явлений.

ЦЕНТР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЦЕНТР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЦЕНТР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СТЕПЕНЬ ВАРИАЦИИ
Недостаток вариационного размаха - в общей совокупности могут встречаться значения признаков, которые или очень велики или очень малы по сравнению с основной массой и эти значения обусловлены случайными обстоятельствами. Эти значения являются аномальными, поэтому размах дает искаженную амплитуду колебания признака. Для исключения аномальных значений необходимо совокупность проверить на засоренность, то есть наличие в совокупности случайных показателей.

СТЕПЕНЬ ВАРИАЦИИ

СТЕПЕНЬ ВАРИАЦИИ

Если соотношение фиксирует засоренность, необходимо найти признаки, которые засоряют совокупность.
Рекомендуется исключить их, снова проверить совокупность, добиваясь тем самым нормального ряда распределения.
ТИП РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для определения однородности совокупности вычисляются показатели вариации, выраженные в относительных единицах
ТИП РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Совокупность считается не засоренной, если выполняются следующие условия:
значение медианы находится между средневзвешенной и модой;
отношение среднеквадратического отклонения к среднему линейному отклонению ≤ 1,25;
коэффициенты вариации ≤ 33%.

Пример:
Сгруппировать выборку
Определить сводные и обобщающие показатели по каждой группе и по всей совокупности
Рассчитать средние и аналитические показатели по каждой группе и совокупности в целом
Проанализировать полученный результат

Решение*:
* Решение будет производиться с использованием MS Excel
1. Выбор группировочного признака, построение ряда данных
Группировочный признак выбран, ряд построен

2. Строится ранжированный вариационный ряд (по возрастанию)

3. Определяется число групп ряда.
формула Стерджесса : n = 1 + 3,2lgN
4. Число групп округляется до ближайшего целого числа
Число групп n = 6

5. Определяется интервал (шаг интервала)

Зная величину интервала группировки, обозначим границы групп.
5. Определяется интервал (шаг интервала)

Строим сводную таблицу в Excel

Строим сводную таблицу в Excel

Строим группировку в Excel

Строим группировку в Excel

Строим группировку в Excel, определяя виды расчетов внутри групп

Сгруппированы показатели (5 групп вместо 6, т.к. имеется группа с интервалом 3675-4900 в которой нет значений показателя)
Рассчитано количество показателей в каждой группе (столбец J)
Рассчитана сумма показателей по каждой группе (столбец K)
Рассчитаны средние значения в каждой группе (столбец L)
Рассчитана дисперсия и отклонение по каждой группе (столбец M, N)
6. Определяются сводные и обобщающие показатели, вначале по каждой группе, а затем по всей совокупности.

6. Определяются сводные и обобщающие показатели, вначале по каждой группе, а затем по всей совокупности.
Расчет показателей по генеральной совокупности

Расчет показателей по генеральной совокупности

Должно быть:
значение медианы находится между средневзвешенной и модой;
отношение среднеквадратического отклонения к среднему линейному отклонению ≤ 1,25;
коэффициенты вариации ≤ 33%.
Совокупность считается не засоренной, если выполняются условия:
Факт:
значение медианы находится между средневзвешенной и модой (истина);
отношение среднеквадратического отклонения к среднему линейному отклонению ≤ 1,25 (факт > 1,25);
коэффициенты вариации ≤ 33% (факт > 33%).