Теория вероятностей и математическая статистика

Лекция 6

Условная вероятность

Пример
Чему равна вероятность выпадения двух шестерок на двух игральных костях, если сумма выпавших очков четна?

Решение
Введем события
B={на обеих костях выпали шестерки}
A={сумма очков четна}

Событию В благоприятствует всего один исход (6,6), поэтому
P(B)=1/36
Событию А благоприятствует 18 исходов, поэтому
P(A)=18/36=1/2

Так как пересечение AB=B, то условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий
которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности

Теорема.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий
образующих полную группу, равна

Пример
Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин ─ дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранный человек ─ дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей равное число мужчин и женщин?

Решение
Рассмотрим два события
A={выбран мужчина}
B={выбрана женщина}
Так как в группе одинаковое число мужчин и женщин, то
P(A)=P(B)=50%=0,5

Обозначим событие
C={выбранный человек дальтоник}
Условные вероятности
P(C|A)=0,05
P(C|B)=0,0025
По формуле полной вероятности
P(C)=0,05⋅0,5+0,0025⋅0,5=0,02625

Вероятность гипотез
Формула Байеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А.

Будем искать условные вероятности

Заменив здесь P(A) , получим

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764г.).

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример
Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин ─ дальтоники. Выбор производится из группы с равным числом мужчин и женщин. Известно, что выбранный человек оказался дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение
A={выбран мужчина}
B={выбрана женщина}
C={выбранный человек дальтоник}
Условные вероятности
P(C|A)=0,05
P(C|B)=0,0025

Воспользовавшись формулой Байеса, находим

Задачи

Задача 1
Вероятности сбоя для различных элементов в компьютере относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в этих устройствах равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Решение
A={сбой будет обнаружен}
B1={сбой в устройстве 1}
B2={сбой в устройстве 2}
B3={сбой в устройстве 3}
Вероятности
P(B1)=0,3; P(B2)=0,2; P(B3)=0,5

Условные вероятности
P(A|B1)=0,8; P(A|B2)=0,9; P(A|B3)=0,9
По формуле полной вероятности
P(A)=0,3·0,8+0,2·0,9+0,5·0,9=0,87

Задача 2
У рыбака есть три любимых места рыбалка. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что при однократном забросе удочки поймается рыбка в первом месте равна 1/3; во втором – ½; в третьем – ¼. Он забросил удочку и вытащил рыбку. Какова вероятность, что он рыбачил в первом месте?

Решение
A={рыбак вытащил рыбку}
B1={рыбачил в первом месте}
B2={рыбачил во втором месте}
B3={рыбачил в третьем месте}
Вероятности
P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3

Условные вероятности
P(A|B1)=1/3; P(A|B2)=1/2; P(A|B3)=1/4
По формуле Байеса

Задача 3
Путешественник может купить билет в одной из трех касс ж/д вокзала. Вероятность, что он направится в первую кассу равна ½; во вторую – 1/3; в третью – 1/6.
Вероятности того, что билетов уже нет в кассах: в первой – 4/5; во второй – 5/6; в третьей – 7/8. Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Какова вероятность, что он купил билет в первой кассе

Решение
A={купил билет}
B1={обратился в кассу 1}
B2={обратился в кассу 2}
B3={обратился в кассу 3}
Вероятности
P(B1)=1/2; P(B2)=1/3; P(B3)=1/6

Так как в условии задачи даны вероятности, что билетов в кассах уже нет, а путешественник купил билет, значит в кассе билеты были.
Условные вероятности
P(A|B1)=1-4/5=1/5
P(A|B2)=1-5/6=1/6
P(A|B3)=1-7/8=1/8.

Искомая вероятность

Задача 4
Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по 1-й дороге, вероятность выхода из леса в течение часа составляет 0,6; по 2-й – 0,3; по 3-й – 0,2; по 4-й – 0,1; по 5-й – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

Решение
A={турист вышел из леса}
B1={выбрал дорогу 1}
B2={выбрал дорогу 2}
B3={выбрал дорогу 3} B4={выбрал дорогу 4}
B5={выбрал дорогу 5}

Дорог всего 5. Вероятности пойти по любой из пяти дорог одинаковы, то есть
P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=1/5
Условные вероятности даны
P(A|B1)=0,6; P(A|B2)=0,3; P(A|B3)=0,2
P(A|B4)=0,1; P(A|B5)=0,1

Имеем

Задача 5
Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 счастливых. Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым?

Решение
Обозначим события
A={первый студент вытащил счастливый билет}
B={второй студент вытащил счастливый билет}
P(A)=5/25=1/5

Вероятность события B зависит от того, произошло или не произошло событие А. Поэтому
P(B|A)=4/24
Если событие А не произошло, то
P(B|Ā)=5/24
События А и Ā противоположные,
P(A)=5/25 и P(Ā)=20/25

Следовательно, вероятность
P(B)=4/24⋅1/5+5/24⋅4/5=1/5,
То есть совпадает с вероятностью события А.

Задача 6
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3; для второго ─ 0,5; для третьего ─ 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение
Обозначим события
A1={на линию огня вызван 1-й стрелок}
A2={на линию огня вызван 2-й стрелок}
A3={на линию огня вызван 3-й стрелок}
P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3

Событие B={мишень не поражена}
Условные вероятности этого события
P(B|A1)=0,7⋅0,7=0,49
P(B|A2)=0,5⋅0,5=0,25
P(B|A3)=0,2⋅0,2==0,04

По формуле Байеса находим

Задача 7
В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% с первого предприятия; 30% со второго; 50% с третьего. Известно, что 10% продукции с первого предприятия высшего сорта; на втором предприятии 5%; на третьем 20%. Найти вероятность того, что случайно купленная продукция окажется высшего сорта.

Решение
Обозначим события
B={куплена продукция высшего сорта}
A1={продукция принадлежит 1-му предприятию}
A2={продукция принадлежит 2-му предприятию}
A3={продукция принадлежит 3-му предприятию}

По условию задачи
P(A1)=0,2 P(A2)=0,3 P(A3)=0,5
Условные вероятности
P(B|A1)=0,1 P(B|A2)=0,05 P(B|A3)=0,2
По формуле полной вероятности
P(B)=0,2⋅0,1+0,3⋅0,05+0,5⋅0,2=0,135

Задача 8
Для сигнализации о том, что режим автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3; 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания равны соответственно 1; 0,75; 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежал индикатор?

Решение
Обозначим события
A={от индикатора получен сигнал}
B1={индикатор 1-го типа}
B2={индикатор 2-го типа}
B3={индикатор 3-го типа} P(B1)=0,2 P(B2)=0,3 P(B3)=0,5

Условные вероятности
P(A|B1)=1 P(A|B2)=0,75 P(A|B3)=0,4
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти вероятности P(B1|A), P(B2|A), P(B3|A) и сравнить их.

По формуле полной вероятности найдем
P(A)=0,2⋅1+0,3⋅0,75+0,5⋅0,4=0,625
Вероятность того, что сигнал будет получен от индикатора, принадлежащего 1-му типу, по формуле Байеса

Вероятность, что сигнал будет поучен от индикатора 2-го типа
Вероятность, что сигнал будет поучен от индикатора 3-го типа

Сравнив найденные вероятности, получаем ответ ─ вероятнее всего второму

Вопросы к лекции 6
Условная вероятность. Примеры
Формула полной вероятности
Формула Байеса