Точечное оценивание параметров распределений случайных величин

7.1. Основные понятия, определения и критерии точечного оценивания
Пусть наблюдается СВ Х с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х).
Случайная выборка измерения представлена вектором Xn=(X1, …, Xn) с реализацией хn=(х1, …, хn).

Будем предполагать, что законы распределения элементов выборки Хi совпадают с законом распределения наблюдаемой случайной величины, а закон распределения случайного вектора Xn=(X1, …, Xn) может быть найден по формулам теории вероятностей.

состоятельность, несмещенность, эффективность, достаточность и робастность.
Если все эти свойства обеспечить не удается, то ограничиваются удовлетворением хотя бы какой-то их части.
Состоятельность оценки – это сходимость ее по вероятности к оцениваемому параметру при n→ ∞.

7.2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m и дисперсией D; оба параметра неизвестны.

7.3. Методы получения оценок параметров
распределения

Часто на практике на основании анализа физического механизма, порождающего случайную величину X, можно сделать вывод о законе распределения этой случайной величины. Однако параметры этого распределения неизвестны, и их необходимо оценить по результатам эксперимента, обычно представленных в виде конечной выборки x1, x2,…xn. Для решения такой задачи чаще всего применяются два метода: метод моментов и метод максимального правдоподобия.

7.3.1. Метод моментов

Метод моментов отличается простотой и не требует сложных вычислений, но полученные этим методом оценки часто являются неэффективными.

7.3.2. Метод максимума правдоподобия
Метод максимального правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.
Пусть X– непрерывная случайная величина, которая в результате n испытаний приняла значения x1, x2, … xn.