Векторы. Сложение и вычитание векторов

Вектор — направленный отрезок
нулевой вектор
Длина ненулевого вектора равна длине отрезка
Длина нулевого вектора равна 0

Коллинеарные векторы — ненулевые векторы,
лежащие на одной прямой или на параллельных прямых
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору
Коллинеарные векторы,
имеющие одинаковые направления,
называют сонаправленными
Коллинеарные векторы,
имеющие противоположные направления, называют противоположно направленными

Равные векторы
Противоположные векторы
сонаправленные векторы,
длины которых равны
противоположно направленные векторы,
длины которых равны

Равные векторы:
Противоположные векторы:

Равные векторы:
Противоположные векторы:

Сложение и вычитание
векторов

Правило треугольника

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Законы сложения векторов
переместительный
сочетательный

Разность векторов
противоположные
векторы

Сумма
нескольких векторов

Правило многоугольника

Умножение
вектора на число

Следствия

Свойства произведения вектора на число
позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же, как и в числовых выражениях

Векторы называются компланарными,
если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости
Любые 2 вектора являются компланарными
3 вектора являются компланарными,
если среди них есть
пара коллинеарных векторов

Доказательство

Доказательство.

Правило
параллелепипеда

Правило параллелепипеда

Правило параллелепипеда

Разложение вектора по трём
некомпланарным векторам

Теорема
На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом

Прямоугольная
система координат
в пространстве

Рене Декарт
1596 - 1650
Французский философ,
математик, механик, физик и физиолог
Создатель аналитической геометрии и современной
алгебраической символики

ось абсцисс
ось ординат
начало координат
Декартова прямоугольная система координат
на плоскости

ось координат
ось координат
начало координат
ось координат
Декартова прямоугольная система координат
в пространстве

ось абсцисс
ось ординат
ось аппликат
ось координат
ось координат
ось координат
Декартова прямоугольная система координат
в пространстве OXYZ

Декартова прямоугольная система координат
в пространстве OXYZ

положительная полуось
положительная полуось
положительная полуось
отрицательная
полуось
отрицательная
полуось
отрицательная
полуось
Декартова прямоугольная система координат
в пространстве OXYZ

абсцисса
ордината
аппликата
Декартова прямоугольная система координат
в пространстве OXYZ

Координаты вектора

Теорема
Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом

Пользуясь разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты
Пользуясь координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам

Позволяют определять
координаты любого
вектора,
представленного в виде алгебраической суммы
данных векторов
с известными
координатами

Связь между координатами векторов
и координатами точек

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

Простейшие задачи
в координатах

1. Определение координат середины отрезка
Каждая координата середины отрезка равна полусумме
соответствующих координат его концов

2. Вычисление длины вектора по его координатам

Решение.

3. Определение расстояния между двумя точками

Скалярное
произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов −
произведение их длин на косинус угла между ними

Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение векторов в координатах
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v