predel_funktsii

Определение
Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.
Функция f имеет предел в точке x0,
если для любой последовательности точек xn,
n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,
последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А,
которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется

Определение
Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию
|х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство |f (x) — A| < ε.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),
показательная функция (ax), тригонометрические функции
(sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции
(arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Примеры функций,
имеющих предел в точке
у= x2
Предел функции
при x → 2 равен 4
(при x → 2 значения функции → 4).
Предел функций при x → 0 равен 0.

Примеры функций,
не имеющих предел в точке

Свойства предела функции в точке
Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем
То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Вычисление предела функции в точке
Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя
.
Используя теорему о пределе частного, получим
Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3.
Тогда

Раскрытие неопределенности
При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.
Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х2

Разделим числитель и знаменатель на х4

Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Вычислить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Очевидно, что можно сократить на (х+1)
:
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое,
что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Замечательные пределы
первый замечательный предел
второй замечательный предел

Примеры

Односторонние пределы
Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство
При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1
Предел функции слева

Предел функции справа
Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство
При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2
Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.