Умозаключения. Теоремы. Утверждения

Понятия логической формулы и ее ранга
Опр. Высказывание с заданным значением истинности называется ло-гической постоянной (F и Т), а высказывание, значение истинности которого не задано, называется логической переменной.
Опр. Всякое простое высказывание (логическая переменная или логи-ческая постоянная), а также всякое сложное высказывание, образованное из простых с помощью логических операций, называется логической формулой.

Обозначение: Ф, Ф1, Ф2, … Если в формулу Ф входят высказывания Х1, Х2,…, Хп, то в общем виде формулу обозначают Ф(X1, Х2,…, Xn).
Например:
1) Ф1 = А ˅ ¬В ˄ (С → А)
2) Ф2 = ((А → У) ˄ В) ↔ (¬Х ˅ У)

Ранг формулы
Опр. Рангом формулы A называется число всех логических операций, с помощью которых эта формула образована.
Обозначение: r (Ф)
Так, r (Ф1) = 4, r (Ф2) = 5
(!!) Очевидно, что ранг простого высказывания равен нулю.

Правила чтения формул
1. Если скобки отсутствуют, то логические операции выполняются в следующей очередности: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
2. Если без скобок записаны друг за другом несколько одинаковых операций, то они выполняются последовательно слева направо.
3. Операция отрицания записывается без скобок и применяется ко всей формуле, записанной под символом отрицания.
4. При необходимости изменить естественный порядок действий часть формулы заключается в скобки.

Классификация формул. Понятие о их равносильности
Опр. Формула Ф(X1,…, Xn) называется выполнимой, если она прини-мает значение 1 хотя бы при одном наборе значений Х1,…, Хп.
Опр. Формула Ф(X1,…, Xn) называется тождественно истинной (за-коном логики), если она принимает значение 1 при любом наборе значений Х1,…, Хп.
Напр.: Х ˅ Х
Опр. Формула Ф(X1,…, Xn) называется тождественно ложной (про-тиворечием), если она принимает значение 0 при любом наборе значений Х1, …, Хп.
Напр.: Х ˄ Х

Опр. Две формулы Ф1 и Ф2 называется равносильными, если они при-нимают одинаковые значения при каждом наборе значений Х1, Х2, …, Хп.
Обозначение: Ф1 ≡ Ф2
Решить вопрос о равносильности формул можно с помощью их истин-ностных таблиц.
ПР. Докажем две равносильности, которые следует помнить.

Основные равносильности алгебры высказываний
1. Операции конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:
А ˄ В ≡ В ˄ А
А ˅ В ≡ В ˅ А
2. Операции конъюнкция и дизъюнкция ассоциативны:
(А ˄ В) ˄ С ≡ А ˄ (В ˄ С)
(А ˅ В) ˅ С ≡ А ˅ (В ˅ С)

3. Операции конъюнкция и дизъюнкция связаны между собой свойством дистрибутивности:
А ˄ (В ˅ С) ≡ А ˄ В ˅ А ˄ С
А ˅ (В ˄ С) ≡ (А ˅ В) ˄ (А ˅ С)
4. Свойства логических констант:
А ˄ Т ≡ А
А ˄ F ≡ F
А ˅ Т ≡ T
А ˅ F ≡ A

Три основные формы мышления.
Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов, относящихся к данному понятию. Например, «Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны» (определение понятия «медиана треугольника»).
Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, о связи между ними и их свойствами или отношениях между ними. Например, «В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой» (теорема).
Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений получается новое суждение. Например, доказательство любой теоремы, например теоремы о медиане равнобедренного треугольника, представляет собой цепочку умозаключений.

Умозаключение как форма мышления
Суждения образуются в мышлении двумя основными способами:
1. Непосредственно (с помощью суждения выражается результат восприятия). Например, суждение «эта фигура – окружность».
2. Опосредованно (суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением). Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура – окружность».

Законы логики, используемые в умозаключениях

Понятие о теоремах. Прямая, обратная и противоположная
теоремы. Необходимые и достаточные условия
Теорема – это некоторая импликация высказываний, т.е. Т ≡А →В
При этом высказывание А называется условием теоремы, а В – ее заключением.
Если в теореме А и В простые высказывания, то теорема называется простой, в противном случае - сложной.

Методы доказательств теорем
I. Схемы прямого доказательства

Доказательство теорем методом от противного

Упростите формулу с помощью равносильных преобразований:

Домашнее задание
Упростите формулу с помощью равносильных преобразований: