Уравнения с одной переменной

Правила
Уравнения называются ЦЕЛЫМИ, если у них левая и правая части являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными).
___________________________________
Всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль.
___________________________________
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения
Примеры
(3х+7) – 5 = 3х(3х+1)
_____________________
(2х²+1)²-x³=1-3(x²-2)↔
4х -x³+7x²+6=0
_____________________
Уравнение
4х -x³+7x²+6=0 является уравнением 4-й
степени
4
4

Надо научиться решать уравнения n-й степени Рn(х)=0
При n=1 имеем линейное уравнение ax +b=0? у которого 1 корень х=-b/a
При n=2 имеем квадратное уравнение
ax²+bx+c=0 (a≠0)
Количество корней зависит от дискриминанта
D=b²-4ac D>o – два различных корня;
D=o – два одинаковых корня;
D

Уравнение n-й степени Рn(х)=0
имеет не более n корней
Для 3-й и 4-й степени существуют формулы для нахождения корней, но они очень громоздки и сложны.
Для 5-й степени и выше формул нет (доказано в 19в. Нильсом Абелем и Эваристом Галуа)
Уравнения 3-й; 4-й и выше степеней – уравнения высоких степеней

Разложение на множители
Замена переменной
Графический способ
Три основных приёма:

Пример1.
х³+2x²-x-2=0
x²(х+2) – (х+2)=0
(х+2)(x²-1)=0
(х+2)(х-1)(х+1)=0
х=-2; х=-1; х=1

Пример2.
6х²(x-1)-x²+x-2x+=0
6х²(x-1)-(х²-x)-(2х-2)=0
6х²(x-1)-х(х-1)-2(х-1)=0
(х-1)(6х²-x-2)=0
х=1; х=2/3; х=-1/2

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубического уравнения:
ax³+bx²+cx+d=0, где a≠0
Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством у= х-(b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому(каноническому) виду:
y³+py+q=0, где
p=-b²/3a²+c/a, q=2b/27a³-bc/3a²+d/a

Решение кубического уравнения можно получить с помощью формулы Кардано:
Если
Если
>0, то кубическое уравнение имеет 3 различных корня(один действительный, а два других – сопряжённые комплексные)
<0, то все три корня действительные и различные

Биквадратное уравнение
ах +bx²+c=0
4
Решаются заменой переменной
у=х²
ау²+by+c=0

Пример3.
4х - 5х² + 1=0 у=х²
4у²-5у+1=0
у=1; у=1/4
х=-1; х=1; х=1/2; х=-1/2
4

Пример4.
(х²-2x)²-4(x²-2x)+3=0 у=(x²-2x)
у²-4у+3=0
у=1; у=3
х²-2х=1 х²-2х=3
х²-2х-1=0 х²-2х-3=0
х=1-√2; х=1+√2; х=-1; х=3

Пример5.
(х²+4х+3)(х²+4х+1)=48
у= (х²+4х+1)
у(у+2)=48
у²+2у-48=0
у=-8 у=6
х²+4х+1=-8 х²+4х+1=6
х²+4х+9=0 х²+4х-5=0 корней нет х=-5; х=1

Пример 6.
(х-1)(х+1)(х+3)(х+5)=105
При решении этой задачи важно сообразить, что (х-1)(х+5)=х²+4x-5, (х+1)(х+3)= х²+4x+3.
Поэтому изменив порядок умножения
сомножителей в исходном уравнении, получим: (х²+4x-5)(х²+4x+3)=105.
Далее решаем вводом новой
переменной у= х²+4x-5 и
получим уравнение у(у+8)=105,
корни которого у1=-15 и у2=7.
Решим уравнения х²+4x-5=-15 (корней не имеет) и х²+4x-5=7( корни х1=-6 и х2=2)

Пример 7.
(х²+3x-8)²+2x(х²+3x-8)-3х²=0
Многочлен, который стоит в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести замену у= (х²+3x-8). Тогда уравнение примет вид:
y²+2xy-3x²=0.
Решим его как квадратное
по переменной у,

y²+2xy-3x²=0
D=
у=
у=
у=-3х и у=х.

Возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения:
х²+3x-8=-3х и х²+3x-8=х
(корни х=-3- √17 и х=-3+ √17)
(корни х=-4 и х=2)

Решите уравнение:
№272(а) y³-6y=0
y(y²-6)=0
Ответ: у=0, у=-√6, y=√6

Решите уравнение:
№272(д) 9х³-18x²-x+2=0
(9х³-18x²)-(x-2)=0
9x²(х-2)-(x-2)=0
(x-2)(9x²-1)=0
(x-2)(3х-1)(3х+1)=0
Ответ: х=-1/3, х=1/3, х=2

Решите уравнение:
№276(а) (2х² +3)² – 12(2х²+3)+11=0
Заменим (2х²+3)=h,
имеем h²-12h+1=0

Решите уравнение:
№278(а) х – 5х² -36=0
4

Теорема Безу.

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося.
Этье́нн Безу́ (фр. Étienne Bézout; 31 марта; 31 марта 1730; 31 марта 1730, Немур; 31 марта 1730, Немур — 27 сентября; 31 марта 1730, Немур — 27 сентября 1783; 31 марта 1730, Немур — 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло; 31 марта 1730, Немур — 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) — французский математик, член Парижской академии наук (1758).
НадгробиеЭтьенна Безу

Любой многочлен R(x) можно представить в виде:
P(x)= (х-а) ∙Q(х) + r,
где r =P(a)
Пример 1. Найти остаток от деления
х -6х +8 на х+2
4
3

Теорема Безу.
Если уравнение
а х + a x + … + a x+a = 0,
где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.
Пример 2. Решите уравнение
х³-8х²+19х-12=0
0
0
n
1
n-1
n -1
n

х³-8х²+19х-12=0
Свободный член – 12 имеет делители ±1, ±2, ± 3, ±4, ±6, ±12.
При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а
х³-8х²+19х-12 делится на (x-1).
Выполнив деление, получим уравнение х²-7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4.
Ответ: 1; 3; 4.

Решение задач.
1) Решить уравнения:
а) х³-3х²-4х+12=0,
б) х³+4х²+5х+2=0,
в) х +4х³+х²-12х-12=0,
г) х +4х³-х²-16х-12=0.
4
4

Решим уравнение с помощью теоремы Безу:
х³-6х²+11х-6=0

Можно не делить многочлен на двучлен, а воспользоваться схемой Горнера
Метод назван в честь Уильяма Джоржа Горнера(анл.)
х³-6х²+11х-6=0
Делителями свободного члена являются: -1;+1; -2; +2; -3; +3; -6; +6
т.о. х³-6х²+11х-6=(х-1)(х²-5х+6)=0

Решить уравнение:
х³-5х+4=0 х³-3х+2=0
4: на +/-1;+/-2; +/-4
х³-5х+4=(х-1)(х²+х-4)=0

Возвратные уравнения
Рассмотрим уравнения:
x³-3x²-3x+1=0
3х -7х³+x²-7x+3=0
-х³+5x²+5x-1=0
Все три уравнения объединяет то, что коэффициенты равноотстоящие от начала и конца левой части уравнения равны.
Такие уравнения называются возвратными.
4

КАК РЕШАТЬ?
?

Рассмотрим методы решения возвратных
уравнений 3-ей и 4-ой степени.
В общем виде возвратное уравнение
3-ей степени имеет вид
(3)
Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения (3) на множители:

Тогда уравнение (3) примет вид
полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений , ,
решая первое уравнение получаем один из корней уравнения (3)
другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем любого возвратного уравнения 3-ей степени.

Пример решения кубического уравнения заменой переменных
Пример. Решить уравнение
Решение. Сначала приведем уравнение к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении замену
Следовательно, уравнение принимает вид
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении
еще одну замену

Тогда поскольку
то уравнение примет вид
Далее из получаем
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
или использовали формулу
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Рассмотрим возвратное уравнение
4-ой степени
(4)
Так как
, то
не является корнем этого уравнения.
Поэтому, если разделить обе части уравнения на
то получим уравнение:
равносильное данному.

Полученное уравнение можно решить уже знакомым нам методом замены переменной.
Пусть
,тогда
,откуда получаем, что
и уравнение (4) примет вид

Решив это уравнение, найдем его корни t1и t2 Теперь чтобы найти корни уравнения (4) необходимо решить два уравнения
и
Пример. Решить уравнение

Решение.
Имеем возвратное уравнение 4-ой степени. Разделим обе части уравнения на х², проведем группировку слагаемых и вынесем общие множители за скобки, получим уравнение
Введем новую переменную
, тогда
подставляя новую переменную в уравнение, получим уравнение:

Решая это уравнение, получим
и
Для нахождения корней первоначального уравнения решим дробно-рациональные уравнения
решение которых сводится к решению двух квадратных
уравнений
и
Корни этих уравнений являются корнями
первоначального уравнения:

Решить уравнения:
5х³-4x²-4x+5=0

Решить уравнения:
2x -5x³+4x²-5x+2=0
4

Однородные уравнения
Одноро́дным уравнением n-й степени, называется дифференциальное уравнение вида:
Такое уравнение заменой сводится к алгебраическому уравнению n-ой степени:

Примеры однородных уравнений:
sin х — cos х = 0,
3(х²+5)²+4(х²+5)(х-7)-7(х-7)²=0
(х-3)+4(х+3)=5(х²-9)² ↔ (х-3)+4(х+3)=5(х-3)²(х+3)²
4
4
a·sin² x + b·sin x·cos x + c·cos² x = 0
a·sin³ x + b·sin² x·cos x + c·sin x·cos² x + d·cos³ x = 0
Степень каждого слагаемого одинакова!
Эта сумма называется степенью однородного уравнения.
Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую, третью и четвёртую степень.
4
4

(х-3)+4(х+3)=5(х-3)²(х+3)²
Разделим обе части уравнения на (х-3) и сделаем замену t=((х+3):(х-3))²
Получим равносильное уравнение: 1+4t²=5t, корни которого равны:
t=1 ; t=¼
Сделаем обратную замену
4
4
4
1
¼
Решим относительно х:
Х=0
Х=-1
Х=-9

Итоги урока:
Какие уравнения называются уравнениями высоких порядков?
Что значит решить уравнение?
Сколько корней может иметь уравнение высоких порядков?
Какие основные способы решения уравнений высоких порядков?