Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждом из них выбрано направление(оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Определение луча на координатной плоскости.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч – отрицательной полуосью.

x
z
y
Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью,
а другой луч – отрицательной полуосью

Прямоугольная система координат
В прямоугольной системе координат каждой точке M пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
y
z
x
M
1
M
2
M
3
M
O

z
N (5; 4; 0)
C (2;-1; 0)
I I I I I I I I I I I
R (-3; -3; 0)
F(0; 4; 3)
A(0; -3; 4)
M(7; 0; 2)
S(x; y; 0)
P(0; y; z)
T(x; 0; z)
y
I I I I I I I I
x
D(6; 0;-3)

z
A (4;-2,5; 7)
S (5; 4; 8)
I I I I I I I I I I I
D (5; 4;-3)
F(-3; 3;-7)
N(0; 0; 4)
R(-2;-3; 4)
y
I I I I I I I I I
I I I I I I I I
x
M(7; 0;-1)
C(7; 4;-1)

Определите координаты точек
B
C
O
E
F
D
z
y
x
A
A(5; 7; 10),
B(4; -3; 6),
C(5; 0; 0),
D(4; 0; 4),
E(0; 5; 0),
F(0; 0; -2).

Координаты вектора
На каждом из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единицы.
j
k
i
y
z
x
O

Связь между координатами векторов и координатами точек.
Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.
Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

y
x
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
O

Разложение по координатным векторам
Любой вектор a можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор.
Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора.
y
x
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I I
S(4; 5; 8)
O

a {-6; 9; 5}
n {-8; 0; 1}
m{4; 0; 0}
c {0; -7; 0}
?
?
?
?
?
?
?
?

Правила №1
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } – данные векторы, то вектор a + b имеет координаты
{x +x ; y +y ; z +z }
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1

Правило №2
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } – данные векторы, то вектор a – b имеет координаты
{x –x ; y –y ; z –z }
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2

Правило №3
Каждая координата произведения вектора на число равна произведение соответствующей координаты вектора на это число. Если a {x; y; z } – данный вектор, α - данное число, то вектор αa имеет координаты
{ x; y; z}
α
α
α

Найдите координаты вектора , если

Задача 1 Даны векторы
d {-2,7; 3,1; 0,5}

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
30

+
Даны векторы
Найдите координаты вектора
1)
2)
3)
{4;-18;-9}