Урок одной задачи С2

Задача С2
КИМ 5 июня 2013г.
Рассмотрим задачу С2 КИМ 2012 года
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁ВСD₁ известны ребра АВ=6, АD=4, АА₁=10. Точка F принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, F и С₁.

В
Стандартная ошибка учащихся
F
F
А
В
С
С₁
D
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁ВСD₁ известны ребра АВ=6, АВ=4, АА₁=10. Точка F принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, F и С₁.
А₁
В₁

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F• •
•Е
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁ВСD₁ известны ребра АВ=6, АD=4, АА₁=10. Точка F принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, F и С₁.
Отрезок АЕ параллелен С₁F принадлежит ребру
DD₁). Плоскость сечения пересекает плоскость
СС₁D₁ по прямой С₁Е, параллельной АF,
Следовательно, искомое сечение -
параллелограмм АЕС₁F
Задача С2 2013г
1. способ решения:

Задача С2 2013г
А
В
А₁
С
С₁
D₁
D
Е
F
1. способ решения
В₁

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F• •F
•Е
Задача С2 2013г
1. cпособ решения
Найду площадь сечения другим
способом:

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F •F
•Е
Задача С2 2013г
1. способ решения:

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F•F
•Е
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁ВСD₁ ребра АВ=6, АD=4, АА₁=10. Точка F принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, F и С₁
Площадь ортогональной проекции многоугольника равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.
Задача С2 2013г
2. способ решения:
АВСD ортогональная проекция плоскости
cечения АFC₁E прямоугольного параллелепипеда

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F•F
•Е
Задача С2 2013г
2. cпособ решения:(векторно-координатный
метод)
Поэтому угол между плоскостями равен углу между ненулевыми векторами , перпендикулярными
этим плоскостям,
т. е. между векторами нормалей.
Найду координаты вектора нормали к плоскости АFC₁E

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F •
•Е
Задача С2 2013г
2. способ решения:

А
А₁
В
С
С₁
D₁
D
В₁
F •
•Е
Задача С2 2013г
2. способ решения:
x
y
z