Векторы в пространстве

Содержание

Слайд 2

Содержание

ПонятиеПонятие вектора
Равенство векторов
Сложение и вычитание векторов
Сумма нескольких векторов
Умножение вектора на число
Компланарные векторы
Правило

Содержание ПонятиеПонятие вектора Равенство векторов Сложение и вычитание векторов Сумма нескольких векторов
параллелепипеда
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Математический диктант
Контрольный тест

Слайд 3

Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а

Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом,
какой – концом, называется вектором.
Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.
ТТ – нулевой вектор ( ТТ = О)

А

В

С

D

T

Слайд 4

Длина вектора

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.
Длина вектора АВ(вектора a)

Длина вектора Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора
обозначается так: АВ ( a ).
Длина нулевого вектора считается равной нулю: 0 =0

А

В

Слайд 5

Два ненулевых вектора называются коллинеарными ,если они лежат на одной прямой или

Два ненулевых вектора называются коллинеарными ,если они лежат на одной прямой или
на параллельных прямых.
Два ненулевых вектора ОР и КМ коллинеарны и при этом лучи ОР и КМ соноправлены
Векторы ОР и КМ называются соноправленными
Если лучи не являются соноправленными, то векторы называются противоположно направленными.
Нулевой вектор считается соноправленным с любым вектором.
ОР КМ; CD КМ ; TL AB ; CD OP

А

В

С

D

К

М

F

L

T

O

P

Слайд 6

Равенство векторов

Векторы называются равными, если они соноправлены и их длины равны. АЕ

Равенство векторов Векторы называются равными, если они соноправлены и их длины равны.
= DK, так как АЕ DK и АЕ = DK , а АВ = DC, так как АВ DC.

A

B

D

N

K

E

C

M

Слайд 7

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство. В самом деле, пусть а – данный вектор, М – данная точка. Проведем через начало и конец вектора а и точку М плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = a. Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN – единственный вектор с началом М, равный вектору а.

а

М

N

Слайд 8

Сложение и вычитание векторов

Правило треугольника.
Для любых трех точек А,В, и С имеет

Сложение и вычитание векторов Правило треугольника. Для любых трех точек А,В, и
место равенство
АВ + ВС =АС

А

С

В

а

а

b

b

a + b

а

b

A

C

B

a

b

a + b

Слайд 9

Свойства сложения векторов.
Для любых векторов а, b, с справедливы равенства:
1) а +

Свойства сложения векторов. Для любых векторов а, b, с справедливы равенства: 1)
b = b + a ( переместительный закон)
2) ( а+b ) + c = a + ( b + c ) ( cочетательный закон )

Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов

а

а + в

b

a

b

Слайд 10

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно
направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.
АВ и ВА - противоположные векторы

А

В

Слайд 11

Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором

Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором
b равна вектору а.
Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле а - b = a + (-b) , где
(-b) – вектор, противоположный вектору b.

а

b

- b

а - b

а

В

А

О

А

О

В

а

b

а - b

Слайд 12

Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке

Сумма нескольких векторов Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком
они складываются.
Правило многоугольника.
Если А1 , А2, …, Аn - произвольные точки, то А1А2 + А2А3+…+Аn-1Аn = А1Аn
OC = a + b + c

O

C

A

B

a

b

c

Слайд 13

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число к называется такой

Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число к называется
вектор b, длина которого равна к * а , причем векторы а и b сонаправлены при к > 0 и противоположно направлены при к < 0.
Если а = 0, то b = 0.
Если к = 0, то b = 0.
Основные свойства
(kl)a = k(la) сочетательный закон
k( a + b ) = ka + kb I распределительный закон
( k + l )a = ka + la II распределительный закон
Если а и b коллинеарны и а = о, то существует к, что b=ka.

Слайд 14

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той

Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и
же точки они будут лежать в одной плоскости.
На рисунке векторы ВВ1, ОD и ОЕ компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный ВВ1 , то получится вектор ОС, а векторы ОС, ОD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ.

а

b

c

B1

D

C

B

O

A

E

Слайд 15

Признак копланарности трех векторов

Если вектор с можно разложить по векторам а и

Признак копланарности трех векторов Если вектор с можно разложить по векторам а
b, т.е. представить в виде с = ха + уb, где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны.
Справедливо и обратное утверждение : если векторы а,
b и с компланарны, а векторы а и b не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

В1

А1

С

а

b

ОА1=х*ОА

ОВ1=у*ОВ

ОС= х*ОА + у*ОВ

В

А

Слайд 16

Правило параллелепипеда

Пусть а, b, с – некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки

Правило параллелепипеда Пусть а, b, с – некомпланарные векторы. Отложим от произвольной
О пространства векторы ОА=а, ОВ=b, ОC=с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами. Тогда диагональ ОD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с : ОD = а + b + с. Действительно, ОD = ОЕ + ЕD = (ОА + АЕ) + ЕD= ОА + ОВ + ОC = а + b + c

а

b

B1

C

B

O

E

D

c

A

Слайд 17

Разложение по трем некомпланарным векторам

Если вектор р представлен в виде
р

Разложение по трем некомпланарным векторам Если вектор р представлен в виде р
= ха + уb + zc, где x, y и z – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.
Теорема.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

С

с

О

Р

р

В

Р2

а

А

b

P1

Слайд 18

Математический диктант

Нарисуйте параллелепипед АВСDA1В1С1D1.
Найдите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда,

Математический диктант Нарисуйте параллелепипед АВСDA1В1С1D1. Найдите вектор, начало и конец которого являются
равный сумме векторов : а)АВ + A1D1 + СA1; б) СA1 + АD + D1 С1.
Найдите вектор, равный: а) АD - С1D1 - ВВ1 ; б) АВ - АA1 - С1В1
Представьте вектор ВС1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор ВD1; вектор D1В.
Упростите выражение: а) MN – PQ – NM + RQ + TR; б) LP + MS + EN – MN – PL + ST
Упростите выражение: а) 3( a + b ) – 4( 2a – b ) + a; б) m + 3( 2m – n) – 2( m – 4n)